Equazioni omogenee trigonometriche di secondo grado
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione trigonometrica in seno e coseno, in cui un coseno è al quadrato. Ho provato a risolverla senza però ottenere i risultati del libro.
Risolvere la seguente equazione goniometrica di secondo grado
Grazie.
Si tratta di risolvere un'equazione trigonometrica di secondo grado espressa in termini di seno e coseno
Per risolverla, bisogna semplicemente raccogliere il fattore comune
e sfruttare in seguito la legge di annullamento del prodotto grazie alla quale otteniamo due equazioni:
- l'equazione goniometrica elementare
da cui ricaviamo la prima famiglia di soluzioni
- l'equazione lineare in seno e coseno
di cui possiamo ricavare le soluzioni isolando il seno al primo membro
dopodiché parte un'osservazione: se allora per la relazione fondamentale della goniometria
pertanto i valori che annullano il coseno renderebbero la precedente equazione impossibile (otterremmo oppure
).
Se , siamo autorizzati a dividere i due membri per
ricavando così l'equazione equivalente
Sfruttando la definizione di tangente, la precedente relazione si traduce nell'equazione goniometrica
che fornisce la famiglia di soluzioni
dove è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.
In conclusione, l'equazione
è soddisfatta dai seguenti valori
con .
Ecco fatto!
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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