Equazioni omogenee trigonometriche di secondo grado

Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione trigonometrica in seno e coseno, in cui un coseno è al quadrato. Ho provato a risolverla senza però ottenere i risultati del libro.

Risolvere la seguente equazione goniometrica di secondo grado

sin(x)cos(x)-cos^2(x) = 0

Grazie.

Domanda di Jumpy
Soluzione

Si tratta di risolvere un'equazione trigonometrica di secondo grado espressa in termini di seno e coseno

sin(x)cos(x)-cos^2(x) = 0

Per risolverla, bisogna semplicemente raccogliere il fattore comune cos(x)

cos(x)(sin(x)-cos(x)) = 0

e sfruttare in seguito la legge di annullamento del prodotto grazie alla quale otteniamo due equazioni:

- l'equazione goniometrica elementare

cos(x) = 0

da cui ricaviamo la prima famiglia di soluzioni

x = (π)/(2)+kπ con k∈Z

- l'equazione lineare in seno e coseno

sin(x)-cos(x) = 0

di cui possiamo ricavare le soluzioni isolando il seno al primo membro

sin(x) = cos(x)

dopodiché parte un'osservazione: se cos(x) = 0 allora per la relazione fondamentale della goniometria

sin(x) = 1 oppure sin(x) = -1

pertanto i valori che annullano il coseno renderebbero la precedente equazione impossibile (otterremmo -1 = 0 oppure -1 = 0).

Se cos(x) ne 0, siamo autorizzati a dividere i due membri per cos(x) ricavando così l'equazione equivalente

(sin(x))/(cos(x)) = 1

Sfruttando la definizione di tangente, la precedente relazione si traduce nell'equazione goniometrica

tan(x) = 1

che fornisce la famiglia di soluzioni

x = (π)/(4)+kπ

dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

In conclusione, l'equazione

sin(x)cos(x)-cos^2(x) = 0

è soddisfatta dai seguenti valori

x = (π)/(2)+kπ ; x = (π)/(4)+kπ

con k∈Z.

Ecco fatto!

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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Domande della categoria Scuole Superiori - Algebra
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