Domande sui sistemi di generatori di sottospazi

Question

Salve a tutti. Volevo porre delle domande sui sistemi di generatori di uno spazio vettoriale. 1) L'insieme L(S) cos'è? Cioè ho capito che è l'insieme vettore = alfa per il vettore 1 etc. ma L(S) per cosa sta? 2) S è un sistema generatori per V se e solo se L(S) = V ciò che vuol dire? E se ho un sistema S = [u1 = (1,-1) u2 = (1,1) u3 = (2,0)] come faccio a capire se è un sistema generatori? Grazie mille.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Ciao Povi,

posto che stiamo parlando di algebra lineare e che S sia un sistema di generatori, direi che L(S) è lo spazio di tutte le possibili combinazioni lineari sui generatori. Cioè se

S={v₁,...,v_n}

è un sistema di generatori, allora il generico elemento di L(S) si scriverà come

∑_i=1ⁿ(α_iv_i)

dove gli α_i sono coefficienti appartenenti al campo su cui stai lavorando, nei corsi di algebra lineare generalmente si tratta del campo dei numeri reali, o di quello dei numeri complessi, mentre i v_i sono vettori appartenenti all'insieme S di generatori.

Uno spazio vettoriale ha elementi dati dalle combinazioni lineari degli elementi della base, ma una base è un sistema di generatori, o meglio, è il sistema di generatori che conta meno vettori possibile.

Quindi in particolare, se L(S)=V, allora S è di generatori per V, cioè c'è una base di V contenuta in S.

Se poi S è di generatori per V, necessariamente L(S)=V per definizione di sistema di generatori!

Il tuo sistema è di generatori se contiene un numero sufficiente di vettori linearmente indipendenti, tale da generare uno spazio della stessa dimensione di V.

Alpha.