Soluzioni
  • Detto S il sottospazio generato dai vettori

    \\ \mathbf{v}_1=(1,1,0,-2) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(2,4,1,5) \\ \\ \mathbf{v}_3=(5,9,2,8) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(3,7,2,12)

    per calcolarne una base è sufficiente estrarre una base dal sistema di generatori \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\}.

    Volendo procedere con il metodo di eliminazione Gauss dobbiamo disporre i vettori per colonne in una matrice e ridurla in una matrice a gradini. I vettori colonna della matrice non ridotta che corrispondono ai vettori colonna di quella ridotta che contengono i pivot formano una base del sottospazio generato.

    La matrice che ha per colonne i vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 è

    A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 & 3 \\ 1 & 4 & 9 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ -2 & 5 & 8 & 12\end{pmatrix}

    Per ridurla in una matrice a gradini, la prima cosa da fare è annullare gli elementi della prima colonna al di sotto di a_{11}. A tal proposito sostituiamo la seconda riga con la seguente combinazione tra la prima e la seconda riga

    \\ R_2 \ \to \ -R_1+R_2 = \\ \\ = \begin{pmatrix}-1 & -2 & -5 & -3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 4 & 9 & 7\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 2 & 4 & 4\end{pmatrix}

    e rimpiazziamo la quarta riga con

    \\ R_4 \ \to \ 2R_1+R_4 = \\ \\ = \begin{pmatrix}2 & 4 & 10 & 6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2 & 5 & 8 & 12\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 9 & 18 & 18\end{pmatrix}

    Così facendo passiamo da A alla matrice

    A'=\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 9 & 18 & 18\end{pmatrix}

    che ancora non è a scala. Per completare la riduzione effettuiamo le seguenti sostituzioni

    \\ R_3 \ \to \ -\frac{1}{2}R_2+R_3 = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & -1 & -2 & -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 & 2\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \\ \\ \\ R_4 \ \to \ -\frac{9}{2}R_2+R_4 = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & -9 & -18 & -18\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 9 & 18 & 18\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

    La matrice risultante è

    A''=\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

    ed è una matrice a gradini con due pivot

    a''_{11}=1 \ \ \ ; \ \ \ a''_{22}=2

    Una base del sottospazio S generato dai quattro vettori è, allora:

    \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} = \{(1,1,0,-2), \ (2,4,1,5)\}

    Risposta di Galois
 
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