Integrale di sen^4(x)

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Come si calcola l'integrale di sen^4(x), ossia l'integrale del seno di x elevato alla quarta? Ho provato a integrare per sostituzione e ad applicare varie formule trigonometriche, ma in entrambi i casi mi blocco e non riesco a proseguire.

 

Potreste dirmi quali sono i metodi con cui si può calcolare l'integrale indefinito del seno alla quarta di x e spiegarmi come si applicano, mostrando i vari passaggi?

 

Calcolare l'integrale indefinito del seno alla quarta di x

 

∫ sin^4(x) dx

Domanda di WhiteC

 
Soluzioni

  • Per calcolare l'integrale di sen^4(x), ossia l'integrale indefinito del seno alla quarta di x, si può usare il metodo di integrazione per parti oppure applicare una particolare formula di riduzione per gli integrali.

    Indipendentemente dal metodo scelto il risultato è sempre lo stesso, ed è il seguente:

    ∫ sin^4(x) dx = -(1)/(4) cos(x) sin^(3)(x)-(3)/(8)cos(x)sin(x)+(3)/(8) x+c, c ∈ R

    Integrale di sen^4(x) con integrazione per parti

    ∫sin^4(x)dx =

    Riscriviamo l'integranda come prodotto tra sin^3(x) e sin(x)

    = ∫ sin^3(x)sin(x)dx

    e usiamo la formula di integrazione per parti:

    ∫ f'(x)g(x) dx = f(x)g(x)-∫ f(x)g'(x)dx

    Evidentemente il fattore f'(x) dev'essere scelto in modo che sia facile da integrare, mentre g(x) dev'essere scelto in modo che sia facile da derivare.

    Scegliamo allora

    f'(x) = sin(x) ; g(x) = sin^3(x)

    e calcoliamo una primitiva della funzione f'(x) = sin(x) e la derivata della funzione g(x) = sin^3(x).

    • L'integrale di sen(x) è uguale a -cos(x), per cui tralasciando la costante additiva +c abbiamo

    f'(x) = sin(x) → f(x) = -cos(x)

    • Per il calcolo della derivata di g(x) applichiamo il teorema di derivazione della funzione composta e otteniamo

    g(x) = sin^3(x) → g'(x) = 3 sin^2(x) cos(x)

    Abbiamo quindi:

    ∫ sin^4(x) dx = ∫ sin^3(x) sin(x)dx = -cos(x)sin^3(x)-∫ (-cos(x))·(3 sin^2(x)cos(x))dx =

    calcoliamo il prodotto nell'integrale e portiamo la costante moltiplicativa -3 fuori dal segno di integrale

    = -cos(x)sin^3(x)+3∫ sin^2(x)cos^2(x)dx =

    Applichiamo l'identità fondamentale della Trigonometria scritta in favore di cos^2(x):

    cos^2(x) = 1-sin^2(x)

    e sostituiamo nell'integrale

    = -cos(x)sin^3(x)+3∫ sin^2(x)·(1-sin^2(x)) dx = -cos(x)sin^3(x)+3∫ (sin^2(x)-sin^4(x)) dx =

    Per la linearità dell'integrale di Riemann:

    = -cos(x)sin^3(x)+3∫ sin^2(x) dx-3 ∫ sin^4(x) dx

    Ora riprendiamo il primo e l'ultimo termine della catena di uguaglianze

    ∫ sin^4(x)dx = -cos(x)sin^3(x)+3∫ sin^2(x) dx-3 ∫ sin^4(x) dx

    e trattiamo l'uguaglianza come se fosse un'equazione. Consideriamo l'integrale del seno alla quarta come un'incognita, ossia imponiamo

    I = ∫ sin^4(x)dx

    e sostituiamo:

    I = -cos(x)sin^3(x)+3∫ sin^2(x) dx-3 I

    Abbiamo ottenuto un'equazione nell'incognita I. Risolviamola!

    I+3I = -cos(x)sin^3(x)+3∫ sin^2(x) dx ; 4I = -cos(x)sin^3(x)+3∫ sin^2(x) dx ; I = -(1)/(4)cos(x)sin^3(x)+(3)/(4) ∫ sin^2(x) dx

    In definitiva:

    ∫ sin^4(x)dx = -(1)/(4)cos(x)sin^3(x)+(3)/(4) ∫ sin^2(x) dx = (•)

    Rimane da calcolare l'integrale del seno al quadrato di x, e si può procedere esattamente allo stesso modo, ossia scrivendo sin^2(x) come prodotto

    sin^2(x) = sin(x)·sin(x)

    e integrando per parti, oppure applicando le formule trigonometriche (per tutti i dettagli: integrale di sen^2(x).

    Qui ci limitiamo al risultato:

    ∫ sin^2(x) = -(1)/(2)cos(x)sin(x)+(1)/(2)x+k, k ∈ R

    Per concludere il calcolo dell'integrale del seno alla quarta sostituiamo in (•):

    (•) = -(1)/(4)cos(x)sin^3(x)+(3)/(4) (-(1)/(2)cos(x)sin(x)+(1)/(2)x+k) =

    e svolgiamo la moltiplicazione

    = -(1)/(4) cos(x) sin^(3)(x)-(3)/(8)cos(x)sin(x)+(3)/(8) x+(3)/(4)k

    Ci siamo quasi! Per una questione puramente estetica indichiamo c = (3)/(4)k, e abbiamo finito:

    ∫ sin^4(x) dx = -(1)/(4) cos(x) sin^(3)(x)-(3)/(8)cos(x)sin(x)+(3)/(8) x+c, c ∈ R

    Integrale di sen^4(x) con le formule di riduzione

    Il secondo metodo è molto più rapido ma presuppone di conoscere le formule di riduzione per gli integrali. Se non ne hai mai sentito parlare, sappi che è normale; le formule di riduzione vengono usate raramente nel calcolo degli integrali perché sono piuttosto difficili da ricordare.

    Se l'integranda è una potenza del seno, allora per ogni numero naturale n, con n ≥ 2, vale la seguente formula di riduzione:

    ∫ sin^n(x) dx = -(cos(x) sin^(n-1)(x))/(n)+(n-1)/(n) ∫ sin^(n-2)(x) dx

    Se sostituiamo n = 4 otteniamo immediatamente

    ∫ sin^4(x) dx = -(cos(x) sin^(4-1)(x))/(n)+(4-1)/(4) ∫ sin^(4-2)(x) dx

    ossia

    ∫ sin^4(x) dx = -(1)/(4) cos(x) sin^(3)(x)+(3)/(4) ∫ sin^(2)(x) dx = (☆)

    Per calcolare l'integrale del seno al quadrato applichiamo nuovamente la formula di riduzione, in cui sostituiamo n = 2

    ∫ sin^2(x) dx = -(cos(x) sin^(2-1)(x))/(2)+(2-1)/(2) ∫ sin^(2-2)(x) dx = -(1)/(2)cos(x)sin(x)+(1)/(2) ∫ dx =

    l'integrale di dx è uguale a x più una costante reale arbitraria

    = -(1)/(2)cos(x)sin(x)+(1)/(2) x+k, k ∈ R

    Sostituiamo in (☆)

    (☆) = -(1)/(4) cos(x) sin^(3)(x)+(3)/(4) (-(1)/(2)cos(x)sin(x)+(1)/(2) x+k) =

    e svolgiamo i calcoli rimanenti

    = -(1)/(4) cos(x) sin^(3)(x)-(3)/(8)cos(x)sin(x)+(3)/(8) x+(3)/(4)k

    Come prima poniamo c = (3)/(4)k e abbiamo finito:

    ∫ sin^4(x) dx = -(1)/(4) cos(x) sin^(3)(x)-(3)/(8)cos(x)sin(x)+(3)/(8) x+c, c ∈ R

    ***

    Per approfondire ti suggeriamo di dare uno sguardo alla lezione sugli integrali di funzioni goniometriche e, in caso di necessità, di usare il tool per gli integrali online. ;)

    Risposta di Galois
 
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