Piano perpendicolare a un altro piano

Il problema si risolve agilmente se usiamo la condizione di perpendicolarità tra piani.

Siano

le equazioni cartesiane di due piani. Diremo che e sono perpendicolari se e solo se lo sono i vettori dei coefficienti direttori

per cui studiare la perpendicolarità di due piani equivale a esaminare la perpendicolarità tra due vettori. In accordo con la definizione, sono perpendicolari se è nullo il loro prodotto scalare canonico

ossia

Ecco che siamo riusciti a esprimere la condizione di perpendicolarità in termini dei coefficienti delle incognite e .

Partiamo dall'equazione del piano

e associamole il vettore dei coefficienti direttori

Il nostro obiettivo è quello di determinare il piano perpendicolare a e passante per il punto e per raggiungerlo, consideriamo la generica equazione del piano

e il vettore dei coefficienti direttori associato

Imponendo la condizione di perpendicolarità

ricaviamo l'uguaglianza

Se isoliamo al primo membro, otteniamo

pertanto

Nota: abbiamo la possibilità di scegliere i valori da dare ad e a , con una sola condizione: non deve coincidere con il vettore nullo.

Se , allora

pertanto

Abbiamo quasi finito! Bisogna infatti attribuire il valore al termine noto affinché sia un punto del piano.

Ricordiamo che appartiene a se e solo se le coordinate di realizzano l'equazione del piano

Possiamo concludere che l'equazione cartesiana di è:

È fatta!