punti estremanti?

come faccio a determinare i punti estremanti della restrizione di f(x)=|x-1|e^x all'intervallo [-2,2]???

Domanda di Lely91
Soluzioni

Ciao Lely91, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

Il modo migliore di procedere consiste nello studiare la monotonia della funzione

f(x) = |x-1|e^x

e limitarsi a considerarne la crescita/decrescita sull'intervallo [-2,+2]. Questo è un intervallo chiuso e limitato, la funzione è continua e il teorema di Weierstrass ci assicura l'esistenza di un massimo e di un minimo assoluto nell'intervallo.

Dopo aver studiato la monotonia della funzione, quindi dopo aver calcolato f'(x) e aver risolto

f'(x) ≥ 0

limitatamente all'intervallo [-2,2], si trovano, oppure no, gli estremanti in tale intervallo. L'ultima cosa da fare è controllare quali valori la funzione assume agli estremi dell'intervallo, e quindi calcolare

f(-2), f(+2)

e confrontarli con i valori assunti in corrispondenza degli estremanti interni all'intervallo.

Namasté!

Risposta di Omega

IL punto è che non riesco a fare f'(x). cioè mi viene f'(x)=sign(x-1)e^x+|x-1|e^x. come faccio a studiarla?

Risposta di Lely91

La derivata è giusta: dividila in due funzioni ragionando sul segno dell'argomento del modulo, quindi

f'(x) = -e^x+(1-x)e^x se x < 1

f'(x) = e^x+(x-1)e^x se x ≥ 1

e studia separatamente il segno limitandoti ai rispettivi sottointervalli: rispettivamente [-2,1) per il primo ramo e [1,2) per il secondo.

Namasté!

Risposta di Omega

con questo ragionamento mi viene un minimo in 2 e un massimo in zero. però in base al grafico della funzione è il contrario!

Risposta di Lely91

Errore mio nel ricopiare i rami della derivat nella precedente risposta: ho copiato e incollato ma non ho cancellato l'argomento del segno, che vale +1 quando l'argomento è positivo e -1 quando l'argomento è negativo. Ho corretto la precedente replica, prova a ricontrollare. Wink

Namasté!

Risposta di Omega

però viene lo stesso il minimo in 2, che non risulta dal grafico.

Risposta di Lely91

Così non mi sembra: la derivata è positiva su (-2,0), negativa su (0,1), positiva su (1,2). In x = 2 c'è il massimo assoluto, in x = 1 il minimo assoluto (punto in cui, tra le altre cose, la funzione non è derivabile).

Namasté!

Risposta di Omega

grazie mille. c'avevo fatto la testa su questo esercizio e mi imbrogliavo!

Risposta di Lely91

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