problemi su uno studio di una serie

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ho la serie da 1 a infinito di (e^(1/n)-1)-log(1+1/n+1/n^2)*n^(a) e devo studiare la convergneza al variare di a.....

 

io che faccio mi riscrivo per le stime asintotiche    (1/n -1/n+1/n^2)*n^(a)  giusto??

 

poi mi faccio i conti e avro  n^(a-2)         se a>2 la erie diverge giusto??? se a<2 converge  ese a=2 cosa posso dire ho fatto bene??

Domanda di frascatano

 
Soluzioni

  • Ciao frascatano arrivo! :D

    Risposta di Ifrit

  • Purtroppo non va bene devi sviluppare l'esponenziale  e il logaritmo in questione fino al terzo ordine:

    e^((1)/(n)) = 1+(1)/(n)+(1)/(2 n^2)+(1)/(6 n^3)+o((1)/(n^3))

    Similmente per il logartimo:

    log(1+(1)/(n)+(1)/(n^2)) = (1)/(n)+(1)/(2n^2)-(2)/(3 n^3)+o((1)/(n^3))

    Da cui otteniamo che:

    e^((1)/(n))-1-log(1+(1)/(n)+(1)/(n^2)) = (5)/(6 n^3)+o((1)/(n^3))

     

    A questo punto puoi fare il discorso che avevi iniziato. Provaci e dimmi com'è andata ;)

    Risposta di Ifrit

  • io non riesco a capire per quale motivo devo arrivare fino al terzo ordine?? perche il log ha due membri e lo sviluppo è gia iniziato?? non potevo fermarmi direttamente al terzo ordine??

    Risposta di frascatano

  • scusa al secondo ordnie??

     

    Risposta di frascatano

  • ho capito,allora mi conviene usare teylor e anche nelle serie come i limiti:

    -ovvero nei casi in cui mi si annulla tutto,come in questo caso se mi fossi fermato al secondo ordine....

    -e nei casi che non ho una stima asintotica normale ad esempio lo come in questo caso un log(1+1/n+1/n^2) e un e^(1/n)

     

    Risposta di frascatano

  • Sì hai capito! 

    In pratica devi utilizzare gli sviluppi noti delle funzioni in gioco:

    e^x = 1+x+(x^2)/(2)+(x^3)/(6)+o(x^3)

    e

    log(1+x) = x-(x^2)/(2)+(x^3)/(3)+o(x^3)

    A questo punto sostituisci ad x (1)/(n) nello sviluppo dell'esponenziale, sostituisci a x (1)/(n)+(1)/(n^2) nello sviluppo del logaritmo, fai i conti e nascondi tutti i termini di ordine superiore a 3.

     

    Spero di essere stato sufficientemente chiaro

    Risposta di Ifrit
 
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