Soluzioni
  • Prima di dedicarci al problema, ripassiamo la parte teorica che ci serve: la condizione di perpendicolarità tra piani.

    Supponiamo di avere due piani \pi,\pi_1, rappresentati in forma cartesiana o in forma parametrica. Per stabilire se sono ortogonali o meno, abbiamo bisogno di due vettori ortogonali a \pi, \pi_1: vanno benissimo i vettori dei coefficienti direttori dei piani

    \\ \mathbf{n}_{\pi}=(a,b,c) \\ \\ \mathbf{n}_{\pi_1}=(a',b',c')

    con i quali possiamo usare la condizione di perpendicolarità. Essa afferma che due piani sono perpendicolari se e solo se i \mathbf{n}_{\pi},\mathbf{n}_{\pi_1} sono vettori perpendicolari, ossia se è nullo il prodotto scalare euclideo \mathbf{n}_{\pi}\cdot\mathbf{n}_{\pi_1}

    \mathbf{n}_{\pi}\cdot\mathbf{n}_{\pi_1}=0 \ \ \to \ \ (a,b,c)\cdot (a',b',c')=0

    Svolgendo il prodotto al primo membro, la precedente relazione si traduce in

    aa'+bb'+cc'=0

    Dopo il richiamo teorico, concentriamoci sul problema. Obiettivo: stabilire se \pi,\pi_1 sono ortogonali.

    Consideriamo le equazioni cartesiane dei piani \pi, \pi_1

    \\ \pi:\ x+y+z=1 \\ \\ \pi_1:\ x-y-z=1

    e associamo a ciascuna il proprio vettore dei coefficienti direttori

    \\ \mathbf{n}_{\pi}=(a,b,c)=(1,1,1)\\ \\ \mathbf{n}_{\pi_1}=(a',b',c')=(1,-1,-1)

    Calcoliamo il prodotto scalare tra i due vettori

    \\ \mathbf{n}_{\pi}\cdot\mathbf{n}_{\pi_1}=(1,1,1)\cdot(1,-1,-1)=\\ \\ =1\cdot 1+1\cdot (-1)+1\cdot(-1)=1-1-1=-1\ne 0

    e concludiamo che \pi,\pi_1 non sono piani ortogonali, giacché il prodotto scalare è non nullo!

    Risposta di Ifrit
 
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