Soluzioni
  • Ciao Maxs, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Due piani sono ortogonali se le rispettive direzioni normali sono ortogonali. La normale ad un piano ha direzione data dai parametri direttori del piano stesso, i.e. se l'equazione del piano è della forma

    ax+by+cz+d=0

    allora il piano ha parametri direttori (a,b,c).

    Cos'altro serve? Sapere che due vettori sono ortogonali (def.) se il loro prodotto scalare è nullo.

    Quindi prendiamo i due piani

    x+y+z-1=0\mbox{ }\to (1,1,1)

    x-y-z-1=0\mbox{ }\to (1,-1,-1)

    Calcoliamo il prodotto scalare delle direzioni delle due normali

    (1,1,1)\cdot (1,-1,-1)=1-1-1=1

    e le due direzioni non sono ortogonali, dunque tali non sono i due piani.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Perchè nelle equazioni cartesiane i parametri direttori sono 3 mentre nelle equazioni parametriche i piani devono essere definiti da sei parametri. In altri termini a,b,c non sono considerate le coordinate di un vettore che da la direzione del piano?

    Poi volevo chiederti..in questi tipi di esercizi ossia verificare la posizione reciproca tra rette e piani, tutto gira intorno alla relazione che vi è tra i vettori direttori? Cioè, ci sono casi in cui non è possibile determinare la posizione reciproca tra rette e piani semplicemente analizzando i vettori direttori?

    Risposta di MAXS
  • "Perchè nelle equazioni cartesiane i parametri direttori sono 3 mentre nelle equazioni parametriche i piani devono essere definiti da sei parametri?"

    Le equazioni parametriche di un piano mediante due parametri e due direzioni: le due direzioni che generano il piano e che sono contenute nel piano. L'equazione cartesiana di un piano, invece, definisce il paino attraverso la direzione del vettore normale al piano stesso. Questo vettore è natiralmente ortogonale ai due vettori che definiscono il piano nelle parametriche, e può essere calcolato a partire da esse mediante prodotto vettoriale.

    Perché? Perché sono due modi diversi di esprimere uno stesso luogo di punti. Uno come luogo di zeri (cartesiane), l'altro mediante somma di vettori (parametriche).

    "In altri termini a,b,c non sono considerate le coordinate di un vettore che da la direzione del piano?"

    Certo che lo sono, solo che individuano la direzione normale al piano, che è una e una sola (a meno di multipli scalari).

    "Poi volevo chiederti..in questi tipi di esercizi ossia verificare la posizione reciproca tra rette e piani, tutto gira intorno alla relazione che vi è tra i vettori direttori? Cioè, ci sono casi in cui non è possibile determinare la posizione reciproca tra rette e piani semplicemente analizzando i vettori direttori?"

    Tutto ruota sempre attorno ai vettori direttori, ma a seconda dei casi servono altre considerazioni che naturalmente dipendono dagli enti geometrici considerati. Ad esempio, se prendi due rette con la stessa direzione, possono essere parallele o coincidenti. Due rette con direzioni linearmente indipendenti (cioè tali per cui l'una non è multiplo dell'altra) possono essere incidenti o sghembe, e così via...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ultima considerazione sul "vettore normale": a quanto ho capito è un vettore a tutti gli effetti, ortogonale ai vettori direttori descritti dalle equazioni parametriche dello stesso piano. Quindi per ragionare sulla posizione reciproca tra rette e piani nello spazio posso benissimo prendere in considerazioni i vettori normali esatto?

    Ma nel caso delle rette descritti da equazioni cartesiane i vettori normali sono 2? In che modo posso utilizzarli?

    Risposta di MAXS
  • Più che un vettore a tutti gli effetti, è proprio un vettore. Wink Per ragionare riguardo alla posizione reciproca tra due piani il confronto tra i vettori normali è sufficiente a patto di controllare poi eventuali situazioni particolare come nel caso di due piani paralleli o incidenti.

    Per le rette, è molto meglio invece ragionare con il vettore che definisce la direzione della retta stessa. Altrimeni se vuoi considerare i due vettori normali è lo stesso che considerare il piano normale alla retta, cioè il piano cui la retta è normale.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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