Soluzioni
  • Per calcolare il limite di successione

    \lim_{n\to+\infty}n\left[\sqrt{n^2+1}-n\right]=

    razionalizziamo il termine all'interno delle parentesi quadre, moltiplicando e dividendo per [\sqrt{n^2+1}+n]

    \\ =\lim_{n\to+\infty}n\frac{\left[\sqrt{n^2+1}-n\right]\left[\sqrt{n^2+1}+n\right]}{\sqrt{n^2+1}+n}= \\ \\ \\ =\lim_{n\to+\infty}\frac{n\left[(\sqrt{n^2+1})^2-n^2\right]}{\sqrt{n^2+1}+n}= \\ \\ \\ =\lim_{n\to+\infty}\frac{n(n^2+1-n^2)}{\sqrt{n^2+1}+n}= \\ \\ \\ =\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}+n}=

    Mettiamo in evidenza n^2 all'interno della radice quadrata

    =\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)}+n}=

    e usiamo le proprietà dei radicali per esprimere la radice del prodotto nel prodotto delle radici

    =\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2}\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}+n}=

    Per n\in\mathbb{N} si ha che \sqrt{n^2}=n, perciò il limite si semplifica in

    =\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}+n}=

    Raccogliamo a fattore comune n al denominatore

    =\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n\left[\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}+1\right]}=

    e semplifichiamolo con quello al numeratore

    =\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}+1}=

    Concludiamo che il limite è uguale a \frac{1}{2}, perché \frac{1}{n^2}\to 0 per n\to +\infty

    =\frac{1}{2}

    Ecco fatto.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica