Soluzioni
  • Eccoci! :)

    Per rispondere alla prima domanda, osserviamo che la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass: infatti è continua sull'intervallo [0,5] e l'intervallo su cui è continua è chiuso e limitato. Il teorema garantisce quindi l'esistenza di un massimo ed un minimo assoluti per la funzione sull'intervallo.

    Per determinarli, si ragiona così: in primo luogo si calcola la derivata della funzione e si studia la monotonia della funzione stessa

    f'(x)=3x^2-12x+9

    quindi si risolve la disequazione

    f'(x)\geq 0

    ossia

    3x^2-12x+9\geq 0

    che ha soluzioni, nell'intervallo [0,5]

    x\in[0,1]\cup[3,5]

    intervalli in cui la funzione è crescente. In [1,3] la funzione sarà quindi decrescente, e quindi la funzione f(x) avrà un massimo relativo in x=1 e un minimo relativo in x=3.

    Valutiamo la funzione in tali punti:

    f(1)=14

    f(3)=10

    Non ci resta che valutare la funzione agli estremi dell'intervallo:

    f(0)=10

    f(5)=30

    Ne deduciamo che la funzione f(x) ha massimo assoluto in x=5 e minimo assoluto nei punti x=0,x=3.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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