Soluzioni
  • Ciao Peppe30 arrivo a rispondere :D

    Risposta di Ifrit
  • \int_{1}^\infty \frac{1}{(1+x^2)(x+2)^a}dx

    Questo tipo di esercizi si risolvono grazie ai criteri di convergenza per integrali impropri di prima specie, in particolare a volte può essere di aiuto suddividere i casi in cui varia a.

    La funzione integranda è:

    f(x)= \frac{1}{(1+x^2)(x+2)^a}.

    Essa è asintoticamente equivalente a:

    g(x)=\frac{1}{x^{2+a}}

    Infatti:

    \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1

    Per il criterio asintotico, sappiamo che l'integrale di partenza converge se e solo se converge l'integrale:

    \int_1^\infty \frac{1}{x^{2+a}}dx e questo avviene se e solo se 2+a>1\implies a>-1

    perché? Puoi calcolarlo direttamente o (il che è lo stesso) dare un'occhiata alla tabella degli integrali impropri notevoli.

     

    Risposta di Ifrit
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