Coseno dell'arcotangente e seno dell'arcotangente

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Quanto valgono il coseno dell'arcotangente e il seno dell'arcotangente? Ho trovato una tabella che elenca due formule goniometriche su coseno e seno dell'arcotangente di x:

 

cos(arctan(x)) = (1)/(√(1+x^2)) ∀ x ∈ R ; sin(arctan(x)) = (x)/(√(1+x^2)) ∀ x ∈ R

 

Sul mio libro però non c'è nessuna delle due, dunque vorrei una conferma da parte vostra. Se fossero vere, potreste spiegarmi come si dimostrano?

Domanda di xeltonx

 
Soluzioni

  • Il coseno dell'arcotangente di x è uguale al reciproco della radice quadrata di 1+x2, ossia cos(arctan(x))=1/(√(1+x2)). Il seno dell'arcotangente di x è uguale a x fratto la radice quadrata di 1+x2, ossia sin(arctan(x))=x/(√(1+x2)).

    cos(arctan(x)) = (1)/(√(1+x^2)) ∀ x ∈ R ; sin(arctan(x)) = (x)/(√(1+x^2)) ∀ x ∈ R

    Formula del coseno dell'arcotangente

    Dimostriamo la formula per il coseno dell'arcotangente di x, ossia proviamo che

    cos(arctan(x)) = (1)/(√(1+x^2)) ∀ x ∈ R

    Procediamo: fissiamo un x ∈ R ed eleviamo ambo i membri al quadrato, così da disfarci della radice quadrata

    cos^2(arctan(x)) = (1)/(1+x^2)

    Moltiplichiamo i due membri per (1+x^2), che è una quantità sicuramente positiva.

    (1+x^2)·cos^2(arctan(x)) = (1)/(1+x^2)·(1+x^2)

    Svolgiamo la moltiplicazione al primo membro e semplifichiamo nel secondo

    cos^2(arctan(x))+x^2 cos^2(arctan(x)) = 1

    Portiamo cos^2(arctan(x)) al secondo membro

    x^2 cos^2(arctan(x)) = 1-cos^2(arctan(x)) (•)

    Per l'identità fondamentale della Trigonometria 1-cos^2(y) = sin^2(y) per ogni y ∈ R.

    Se poniamo y = arctan(x) otteniamo

    1-cos^2(arctan(x)) = sin^2(arctan(x))

    Riprendiamo dal punto in cui ci siamo fermati e sostituiamo in (•)

    x^2 cos^2(arctan(x)) = sin^2(arctan(x))

    Isoliamo x^2 dividendo ambo i membri per cos^2(arctan(x)), che è una quantità sicuramente non nulla. Osserviamo infatti che il coseno si annulla quando il suo argomento è uguale a (π)/(2)+kπ, con k ∈ Z, dunque il coseno dell'arcotangente di x si annulla per i valori di x tali che

    arctan(x) = (π)/(2)+k π

    Questa equazione non ammette soluzioni, infatti l'arcotangente restituisce come valori gli angoli tra -(π)/(2) e (π)/(2)), estremi esclusi.

    x^2 = (sin^2(arctan(x)))/(cos^2(arctan(x)))

    Riscriviamo il secondo membro come potenza di una frazione

    x^2 = ((sin(arctan(x)))/(cos(arctan(x))))^2

    Il rapporto tra seno e coseno di uno stesso angolo è uguale, per definizione, alla tangente dell'angolo considerato

    x^2 = (tan(arctan(x)))^2

    Ricordiamo ora che l'arcotangente è la funzione inversa della tangente e che la tangente dell'arcotangente di x è uguale a x per ogni x ∈ R

    x^2 = x^2

    Abbiamo ottenuto un'identità, e ciò conclude la dimostrazione della formula per il coseno dell'arcotangente di x.

    Formula del seno dell'arcotangente

    Passiamo alla formula per il seno dell'arcotangente di x:

    sin(arctan(x)) = (x)/(√(1+x^2)) ∀ x ∈ R

    La dimostrazione è simile a quella vista per il coseno dell'arcotangente, dunque procediamo un po' più spediti.

    Eleviamo ambo i membri al quadrato

    sin^2(arctan(x)) = (x^2)/(1+x^2)

    e moltiplichiamo membro a membro per (1+x^2)

    (1+x^2)·sin^2(arctan(x)) = x^2

    Calcoliamo il prodotto

    sin^2(arctan(x))+x^2 sin^2(arctan(x)) = x^2

    Portiamo x^2 sin^2(arctan(x)) al secondo membro

    sin^2(arctan(x)) = x^2-x^2 sin^2(arctan(x))

    e raccogliamo a fattor comune x^2

    sin^2(arctan(x)) = x^2 (1-sin^2(arctan(x)))

    Usiamo l'identità fondamentale della Trigonometria

    sin^2(arctan(x)) = x^2 cos^2(arctan(x))

    Isoliamo x^2 invertendo i due membri e dividendo per cos^2(arctan(x))

    x^2 = (sin^2(arctan(x)))/(cos^2(arctan(x)))

    da cui

    x^2 = ((sin(arctan(x)))/(cos(arctan(x))))^2

    Usiamo infine la definizione di tangente

    x^2 = (tan(arctan(x)))^2

    e ancora una volta otteniamo l'identità

    x^2 = x^2

    il che conclude anche la dimostrazione della formula per il seno dell'arcotangente di x.

    ***

    È tutto! Se ti occorre un elenco di tutte le identità, le formule e le proprietà dell'arcotangente - click!

    Risposta di Galois
 
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