Soluzioni
  • Per calcolare l'integrale della tangente al quadrato di x si deve scrivere la tangente come rapporto tra seno e coseno, usare l'identità fondamentale della Trigonometria e, infine, ricondursi a due integrali notevoli.

    Tra un attimo saremo più precisi e mostreremo tutti i passaggi, ma intanto ecco il risultato:

    \int \tan^2(x) dx = \tan(x)-x+c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    Calcolo dell'integrale indefinito di tan^2(x)

    \int \tan^2(x) dx =

    scriviamo la funzione tangente come rapporto tra seno e coseno

    =\int \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 dx = \\ \\ \\ =\int \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} dx =

    Sfruttiamo l'identità fondamentale della Trigonometria e scriviamo il seno al quadrato come differenza tra 1 e il coseno al quadrato

    =\int \frac{1-\cos^2(x)}{\cos^2(x)}dx=

    Spezziamo la funzione integranda nella somma di due frazioni, dividendo termine a termine

    =\int \left(\frac{1}{\cos^2(x)} -\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}\right)dx =\\ \\ \\ =\int \left(\frac{1}{\cos^2(x)} -1\right)dx=

    Per la linearità dell'integrale di Riemann:

    =\int \frac{1}{\cos^2(x)} dx - \int 1 dx = \ (\bullet)

    Ci siamo così ricondotti a due integrali notevoli:

    • l'integrale di 1/cos^2(x) è uguale alla tangente di x

    \int \frac{1}{\cos^2(x)} dx = \tan(x) + c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    • l'integrale di 1 è uguale a x

    \int 1 dx = x + c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    Riprendiamo l'integrale nel punto in cui ci siamo interrotti e abbiamo finito

    (\bullet) = \tan(x)-x+ c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    In definitiva:

    \int \tan^2(x) dx = \tan(x)-x+c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    ***

    Per concludere ecco qualche link utile:

    - scheda di esercizi sugli integrali particolari;

    - integrali online, un tool con cui potrai verificare la correttezza degli integrali di cui non conosci il risultato.

    Risposta di Galois
 
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