Integrale della tangente al quadrato
Quanto vale e come si calcola l'integrale della tangente al quadrato, cioè l'integrale di tan^2(x)? Ho pensato a un'integrazione per parti, che poi è il metodo da applicare per l'integrale del quadrato di altre funzioni goniometriche, ma non riesco a venirne a capo.
Calcolare l'integrale indefinito di tan^2(x)
Per calcolare l'integrale della tangente al quadrato di x si deve scrivere la tangente come rapporto tra seno e coseno, usare l'identità fondamentale della Trigonometria e, infine, ricondursi a due integrali notevoli.
Tra un attimo saremo più precisi e mostreremo tutti i passaggi, ma intanto ecco il risultato:
Calcolo dell'integrale indefinito di tan^2(x)
scriviamo la funzione tangente come rapporto tra seno e coseno
Sfruttiamo l'identità fondamentale della Trigonometria e scriviamo il seno al quadrato come differenza tra 1 e il coseno al quadrato
Spezziamo la funzione integranda nella somma di due frazioni, dividendo termine a termine
Per la linearità dell'integrale di Riemann:
Ci siamo così ricondotti a due integrali notevoli:
• l'integrale di 1/cos^2(x) è uguale alla tangente di x
• l'integrale di 1 è uguale a x
Riprendiamo l'integrale nel punto in cui ci siamo interrotti e abbiamo finito
In definitiva:
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Per concludere ecco qualche link utile:
- scheda di esercizi sugli integrali particolari;
- integrali online, un tool con cui potrai verificare la correttezza degli integrali di cui non conosci il risultato.