Soluzioni
  • Per calcolare la distanza tra le rette sghembe r,s

    \\ r:\ \begin{cases}x-1=0 \\ y-z=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=t\\ y=0 \\ z=1+2t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    dobbiamo attenerci ai seguenti passaggi:

    - costruiamo il fascio di piani con asse la retta r e descritto dalla combinazione lineare non banale delle equazioni cartesiane dei piani che incidono in r

    \\ \mathrm{F}:\ \lambda(x-1)+\mu(y-z)=0\\ \\ \lambda x+\mu y-\mu z-\lambda=0

    dove \lambda,\mu sono numeri reali non contemporaneamente nulli.

    Ad esso associamo il vettore dei coefficienti direttori

    \mathbf{n}_{\mathrm{F}}=(\lambda, \mu, -\mu)

    - Esplicitiamo il vettore direttore di s associato alla sua parametrizzazione (è il vettore composto dai coefficienti che moltiplicano il parametro t nelle equazioni parametriche della retta s)

    \mathbf{v}_{s}=(l_{s},m_{s},n_{s})=(1,0,2)

    - Dal fascio di piani contenenti r, dobbiamo estrapolare il piano parallelo a s. Usiamo quindi la condizione di parallelismo retta-piano, secondo cui \pi\in\mathrm{F} e s sono paralleli nel momento in cui è nullo il prodotto scalare standard tra \mathbf{n}_{\mathrm} e \mathbf{v}_{s}

    \mathbf{n}_{\mathrm{F}}\cdot\mathbf{v}_{s}=0

    vale a dire

    \\ (\lambda, \mu,-\mu)\cdot(1,0,2)=0\\ \\ \lambda-2\mu=0 \ \ \ \to \ \ \ \lambda=2\mu\ \ \ \mbox{con}\ \mu\ne 0

    - Sostituiamo \lambda=2\mu nell'equazione del fascio e scriviamo quella del piano \pi contenente r e parallelo a s.

    \pi: \ 2\mu(x-1)+\mu(y-z)= 0 \ \ \to \ \ \mu(2x+y-z-2)=0

    da cui, dividendo i due membri per \mu

    \pi:\ 2x+y-z-2=0

    Adesso disponiamo di tutti gli elementi per calcolare la distanza tra le due rette: basta infatti prendere un punto P_{s} della retta r e calcolare la sua distanza dal piano \pi (usando quindi la formula della distanza punto-piano).

    Sia

    P_{s}(x_{P_{s}}, y_{P_{s}},z_{P_{s}})=(0,0,1)

    il punto di s ottenuto ponendo t=0, e indicati con a,b,c,d i coefficienti dell'equazione di \pi, allora la distanza d(\pi,P_{s}) - e quindi la distanza tra le rette r,s - è data da:

    \\ d(r,s)=d(\pi,P_{s})=\frac{|ax_{P_{s}}+by_{P_{s}}+cz_{P_{s}}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}= \\ \\ \\ =\frac{|2\cdot 0+1\cdot 0-1\cdot 1-2|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}

    Abbiamo finito!

    Per approfondire: piano contenente una retta e parallelo a un'altra.

    Risposta di Ifrit
 
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