Calcolare la distanza tra due rette sghembe

Question

Mi ritrovo a svolgere un esercizio sulla distanza tra due rette sghembe nello spazio. Il mio problema risiede nel fatto che una retta è espressa in forma cartesiana, mentre l'altra in forma parametrica. Come devo comportarmi in questo caso? Calcolare la distanza tra le rette sghembe r,s definite dalle seguenti equazioni: ; r: x-1 = 0 ; y-z = 0 ; s: x = t ; y = 0 ; z = 1+2t con t∈R Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per calcolare la distanza tra le rette sghembe r,s ; r: x-1 = 0 ; y-z = 0 ; s: x = t ; y = 0 ; z = 1+2t con t∈R dobbiamo attenerci ai seguenti passaggi:-costruiamo il fascio di piani con asse la retta r e descritto dalla combinazione lineare non banale delle equazioni cartesiane dei piani che incidono in r ; F: λ(x-1)+μ(y-z) = 0 ; λ x+μ y-μ z-λ = 0 dove λ,μ sono numeri reali non contemporaneamente nulli. Ad esso associamo il vettore dei coefficienti direttori n_(F) = (λ, μ,-μ)-Esplicitiamo il vettore direttore di s associato alla sua parametrizzazione (è il vettore composto dai coefficienti che moltiplicano il parametro t nelle equazioni parametriche della retta s) v_(s) = (l_(s),m_(s),n_(s)) = (1,0,2)-Dal fascio di piani contenenti r, dobbiamo estrapolare il piano parallelo a s. Usiamo quindi la condizione di parallelismo retta-piano, secondo cui π∈F e s sono paralleli nel momento in cui è nullo il prodotto scalare standard tra n_(mathrm) e v_(s) n_(F)·v_(s) = 0 vale a dire ; (λ, μ,-μ)·(1,0,2) = 0 ; λ-2μ = 0 → λ = 2μ con μ ne 0-Sostituiamo λ = 2μ nell'equazione del fascio e scriviamo quella del piano π contenente r e parallelo a s. π: 2μ(x-1)+μ(y-z) = 0 → μ(2x+y-z-2) = 0 da cui, dividendo i due membri per μ π: 2x+y-z-2 = 0 Adesso disponiamo di tutti gli elementi per calcolare la distanza tra le due rette: basta infatti prendere un punto P_(s) della retta r e calcolare la sua distanza dal piano π (usando quindi la formula della distanza punto-piano). Sia P_(s)(x_(P_(s)), y_(P_(s)),z_(P_(s))) = (0,0,1) il punto di s ottenuto ponendo t = 0, e indicati con a,b,c,d i coefficienti dell'equazione di π, allora la distanza d(π,P_(s))-e quindi la distanza tra le rette r,s-è data da: ; d(r,s) = d(π,P_(s)) = (|ax_(P_(s))+by_(P_(s))+cz_(P_(s))+d|)/(√(a^2+b^2+c^2)) = (|2·0+1·0-1·1-2|)/(√(2^2+1^2+(-1)^2)) = (3)/(√(6)) = (√(6))/(2) Abbiamo finito! Per approfondire: piano contenente una retta e parallelo a un'altra.