Soluzioni
  • Ciao Bartez, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per valutare la continuità e la derivabilità della funzione

    f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & x\in \mathbb{Q}\cap [0,+\infty)\\ 2x-1& x\in (\mathbb{R}-\mathbb{Q})\cap [0,+\infty)\end{matrix}

    può essere di grande aiuto disegnare i grafici dei due rami che la compongono, nel continuo.

    Questa funzione presenta minimo minimo un'infinità numerabile di punti di discontinuità di prima specie in corrispondenza di ogni valore di x\in\mathbb{Q}. Tenendo conto poi che \mathbb{Q} è denso in \mathbb{R}, ne risulta che la funzione non è continua in alcun punto di \mathbb{R}.

    L'unico punto in cui si potrebbe tentare di studiare la continuità è x=1. Ti torna fin qui il ragionamento?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Si ok fin qui credo di aver capito 

    Risposta di Bartez
  • Ok: nel punto x=1 la valutazione della funzione è data da f(1)=1^2=1, dobbiamo controllare se la funzione f(x) soddisfa la nozione di continuità. Sostanzialmente: i due limiti sinistro e destro valgono 1 per x\to 1^{\pm} ?

    Dobbiamo controllare, ad esempio nel caso dell'intorno destro, se

    \forall\varepsilon>0\mbox{ }\exists\delta(\varepsilon)\mbox{ t.c. }\mbox{ se }x-1<\delta\mbox{ risulta che }|f(x)-1|<\varepsilon

    Dato che la funzione f(x) tende al valore 1 come x^2 sui razionali e come 2x-1 sugli irrazionali, sarà sufficiente prendere i valori di \delta dati dalla continuità della funzione 2x-1 che si avvicina più lentamente al valore 1 rispetto alla funzione x^2. La funzione è quindi continua nel punto. Va scritto rigorosamente, beninteso, ma questa è l'idea che sta alla bae del ragionamento. Lo stesso dicasi per il limite sinistro.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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