Integrale in campo complesso

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Salve avrei problemi nella risoluzione di un integrale in campo complesso: ∫_Cdz(1)/(z)

 

Sostituendo

 

z = x+iy

 

il professore ha trasformato

 

(1)/(z) = (x)/(x^(2)+y^(2))-i (y)/(x^(2)+y^(2))

 

a questo punto per risolvere l'integrale ha parametrizzato ponendo:

 

x = r cosθ ; y = r senθ con 0 ≤ θ ≤ 2π

 

ha fatto i differenziali

 

dx = -r senθ dθ

 

dy = r cosθ dθ

 

Da questo punto in poi non ho capito cos'ha fatto: vi scrivo i passaggi

 

(1)/(r^(2))[∫_(0)^(2π)dθ (-r^(2) senθ cosθ+r^(2) senθ cosθ)+i∫_(0)^(2π)dθ (r^(2) sen^(2)θ+r^(2) cos^(2)θ) = i 2π

 

Potrei sapere come ha fatto a scrivere l'integrale?

Domanda di Danilo

 
Soluzioni

  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • La stessa domanda mi sono sbagliato e l ho aperta sul forum; se vuoi puoi cancellarla dall'altra parte sorry ;)

    Risposta di Danilo

  • Quindi posso cancellare il topic aperto per errore sul Forum?

    Non perderti in un bicchier d'acqua Wink il primo dei due integrali che ha scritto è zero perhé l'integranda è nulla (differenza di due addendi uguali) mentre nella seconda integranda ha solo applicato l'identità fondamentale della trigonometria, dunque la seconda integranda è 1.

    Oppure il problema è nel passaggio precedente?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Sul forum puoi cancellarlo tranquillamente;

    il problema è come è arrivato a scrivere l integrale, dove ha preso tutti quei valori?una volta scritto a calcolare il valore sono capace.

    dove ha inserito dx e dy ?

    io una volota trasformata 1/z avrei soltanto sostituito i valori della parametrizzazione e basta, invece il prof non ha fatto nulla di questo; ti sarei grato se mi facessi vedere tutti i passaggi che ha fatto per riuscire a scriverolo :) grazie

    Risposta di Danilo

  • Penso di aver capito il tuo dubbio, ma voglio rassicurarti: non c'è niente di esoterico nei passaggi effettuati dal tuo professore Wink

    Se scrivi il differenziale nella forma

    dz = d(x+iy) = dx+idy

    e 1/z nella forma che hai già indicato, ti basta sostituire entrambi i termini nell'integrale (differenziale e funzione) e poi svolgere i passaggi algebrici, separando l'integrale nella somma dell'integrale relativo alla parte reale e alla parte immaginaria

    Tieni conto che il differenziale è costituito da due addendi, e la funzione complessa in forma algebrica anche. Facendo il prodotto riordini i termini e non devi fare altro che osservare che i^2 = -1

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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