Soluzioni
  • Ciao daniele! Arrivo :)

    Risposta di Ifrit
  • Ok iniziamo! Abbiamo una funzione in cui compare all'esponente un numero irrazionale \sqrt{5} pertanto dobbiamo pretendere che la base sia maggiore di zero.

    Inoltre abbiamo un denominatore, dobbiamo assicurarci che sia diverso da zero.

    Infine abbiamo un arcocoseno che è ben definito solo quando il suo argomento è compreso tra -1 e 1.

    Il dominio è dato dunque dalla risoluzione del sistema:

    \begin{cases}\frac{\pi-2\arccos(x+1)}{3\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}-5\left(\frac{2}{3}\right)^x+2}>0\\ -1\le x+1\le 1\\3\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}-5\left(\frac{2}{3}\right)^x+2\ne 0\end{cases}

    Partiamo con la seconda, che è una doppia disequazione, otteniamo:

    -1\le x+1\le 1\implies -2\le x\le 0

    Risolviamo l'equazione esponenziale:

    3\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}-5\left(\frac{2}{3}\right)^x+2\ne 0

    Poniamo t=\left(\frac{2}{3}\right)^x l'equazione diventa:

    3 t^2-5t+2\ne 0

    Troviamo le soluzioni:

    \Delta= 25-24=1

    t_1= \frac{5-1}{6}= \frac{4}{6}= \frac{2}{3}

    t_2= \frac{6}{6}= 1

    Da cui otteniamo che:

    \left(\frac{2}{3}\right)^x= \frac{2}{3}\implies x=1

    \left(\frac{2}{3}\right)^x=1\implies x=0

    Pertanto dobbiamo escludere i valori x=1 e x=0.

     

    Infine la disequazione più tosta:

    \frac{\pi-2\arccos(x+1)}{3\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}-5\left(\frac{2}{3}\right)^x+2}>0

     

    Osserviamo che il denominatore è sempre positivo in [-2, 0] quindi possiamo tralasciarlo, dobbiamo pretendere che il numeratore sia positivo:

    \pi-2\arccos(x+1)>0

    \arccos(x+1)<\frac{\pi}{2}

    0\le x+1\implies -1\le x

    Mettendo insieme queste informazioni hai che il dominio è

    \mbox{dom}(f)= \{x\in\mathbb{R}\ :\ -1\le x<0\}

    Risposta di Ifrit
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