Soluzioni
  • Per calcolare il logaritmo

    \log_{2}\left(\frac{\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[4]{2}}{\sqrt[12]{16}}\right)

    useremo le seguenti proprietà:

    - il logaritmo del rapporto di due quantità positive è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore

    \\ \log_{p}\left(\frac{a}{b}\right)=\log_{p}(a)-\log_{p}(b) \\ \\ \mbox{con} \ a>0,\ b>0,\ p>0, \ p\ne 1

    -  il logaritmo del prodotto di due quantità positive è uguale alla somma tra i logaritmi dei fattori.

    \\ \log_{p}(a\cdot b)=\log_{p}(a)+\log_{p}(b)\\ \\ \mbox{con} \ a>0,\ b>0, \ p>0, \ p\ne 1

    - il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto tra l'esponente e il logaritmo della base, purché quest'ultima sia positiva

    \\ \log_{p}(a^{b})=b\log_{p}(a)\\ \\ \mbox{con} \ a>0, \ p>0, \ p\ne 1

    Dopo questo preambolo teorico, svolgiamo l'esercizio

    \log_{2}\left(\frac{\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[4]{2}}{\sqrt[12]{16}}\right)=

    Usiamo innanzitutto la regola sul logaritmo del rapporto

    =\log_{2}(\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[4]{2})-\log_{2}(\sqrt[12]{16})=

    dopodiché sfruttiamo la regola sul logaritmo del prodotto

    =\log_{2}(\sqrt[3]{8})+\log_{2}(\sqrt[4]{2})-\log_{2}(\sqrt[12]{16})=

    Poiché \sqrt[3]{8}=2, l'espressione diventa

    =\log_{2}(2)+\log_{2}(\sqrt[4]{2})-\log_{2}(\sqrt[12]{16})=

    I prossimi passaggi prevedono di trasformare i radicali nelle rispettive potenze a esponente fratto

    =\log_{2}(2)+\log_{2}(2^{\frac{1}{4}})-\log_{2}(16^{\frac{1}{12}})=

    e di sfruttare a dovere la proprietà sul logaritmo di una potenza

    =\log_{2}(2)+\frac{1}{4}\log_{2}(2)-\frac{1}{12}\log_{2}(16)=

    Scriviamo 16 come 2^{4} e sfruttiamo nuovamente la proprietà sul logaritmo di una potenza

    \\ =\log_{2}(2)+\frac{1}{4}\log_{2}(2)-\frac{1}{12}\log_{2}(2^{4})= \\ \\ \\ =\log_{2}(2)+\frac{1}{4}\log_{2}(2)-\frac{1}{12}\cdot 4 \log_{2}(2)=\\ \\ \\ =\log_{2}(2)+\frac{1}{4}\log_{2}(2)-\frac{1}{3}\log_{2}(2)=

    Per definizione di logaritmo \log_{2}(2)=1, pertanto l'espressione si tramuta in

    =1+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{11}{12}

    Abbiamo finito!

    Risoluzione con le proprietà dei radicali

    L'esercizio si può risolvere avvalendosi delle proprietà dei radicali. È sufficiente esprimere ciascun elemento che compone l'argomento del logaritmo come una potenza in base 2

    \sqrt[3]{8}=2 \ \ , \ \ \sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{4}} \ \ , \ \ \sqrt[12]{16}=(2^{4})^{\frac{1}{12}}=2^{\frac{1}{3}}

    sfruttare le proprietà delle potenze per semplificare l'argomento del logaritmo e utilizzare la definizione stessa di logaritmo

    \log_{2}\left(\frac{\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[4]{2}}{\sqrt[12]{16}}\right)=\log_{2}\left(\frac{2\cdot 2^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{3}}}\right)=\log_{2}\left(\frac{2^{1+\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{3}}}\right)=\log_{2}\left(\frac{2^{\frac{5}{4}}}{2^{\frac{1}{3}}}\right)=\\ \\ \\ =\log_{2}\left(2^{\frac{5}{4}-\frac{1}{3}}\right)=\log_{2}\left(2^{\frac{11}{12}}\right)= \\ \\ \\ =\frac{11}{12}

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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