Soluzioni
  • Ci vengono assegnate l'equazione di una circonferenza

    C: \ x^2+y^2-2x-1=0

    e le coordinate cartesiane di un suo punto

    P(0,1)

    e ci viene chiesto di scrivere l'equazione del fascio di circonferenze tangenti alla circonferenza C nel punto P.

    In generale, per trovare l'equazione di un fascio di circonferenze basta disporre delle equazioni di due circonferenze del fascio (degeneri o non degeneri) e considerare una loro combinazione lineare.

    Una circonferenza l'abbiamo già, ed è C.

    Come altra circonferenza prendiamo l'asse radicale, una circonferenza degenere che, in un fascio di circonferenze tangenti in un punto P, coincide con la retta tangente a tutte le circonferenze del fascio in P.

    In definitiva, non ci rimane altro da fare se non calcolare l'equazione dell'asse radicale, ossia l'equazione della retta tangente alla circonferenza C nel punto P.

    Consideriamo il fascio di rette per P(0,1)

    y-y_P=m(x-x_p) \ \ \to \ \ y-1=m(x-0)

    ossia

    y=mx+1

    e tra tutte le rette del fascio troviamo la retta tangente alla circonferenza C. Per farlo mettiamo a sistema l'equazione del fascio di rette con l'equazione della circonferenza

    \begin{cases}x^2+y^2-2x-1=0 \\ y=mx+1\end{cases}

    e procediamo con il metodo di sostituzione

    \begin{cases}x^2+(mx+1)^2-2x-1=0 \\ y=mx+1\end{cases}

    Dopo qualche conticino, otteniamo l'equazione di secondo grado

    (m^2+1)x^2+(2m-2)x=0

    Troviamone il discriminante

    \Delta=(2m-2)^2

    Imponiamo che sia uguale a zero e risolviamo l'equazione che ne scaturisce

    \Delta = 0 \ \ \to \ \ 2m-2=0 \ \ \to \ \ m=1

    Sostituiamo m=1 nel fascio di rette e otteniamo l'equazione dell'asse radicale:

    y=x+1

    ossia

    x-y+1=0

    Ci siamo! L'equazione del fascio di circonferenze cercato è

    h(x^2+y^2-2x-1)+k(x-y+1)=0 \ \ \mbox{ con } h,k \in \mathbb{R}

    Risposta di Galois
 
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