Soluzioni
  • È noto, dalle ipotesi, che V è uno spazio vettoriale reale di dimensione n, che langle , rangle è un prodotto scalare su V e che mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n è una base ortogonale di V rispetto a langle , rangle.

    Dobbiamo dimostrare che la matrice associata al prodotto scalare langle , rangle rispetto a mathcalB è una matrice diagonale.

    Procediamo! Per definizione, la matrice A che rappresenta il prodotto scalare langle , rangle relativamente a mathcalB è una matrice quadrata di ordine n in cui l'elemento di posto (i,j) è dato dal prodotto scalare tra i vettori v_i, v_j, ossia

    A = [ langle v_1, v_1 rangle langle v_1, v_2 rangle ··· langle v_1, v_n rangle ; langle v_2, v_1 rangle langle v_2, v_2 rangle ··· langle v_2, v_n rangle ; ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; langle v_n, v_1 rangle langle v_n, v_2 rangle ··· langle v_n, v_n rangle]

    Per ipotesi, mathcalB è una base ortogonale, dunque

    langle v_i , v_j rangle = 0 ∀ i ≠ j

    Da ciò segue che gli elementi di A che non appartengono alla diagonale principale sono nulli, ossia

    A = [ langle v_1, v_1 rangle 0 ··· 0 ; 0 langle v_2, v_2 rangle ··· 0 ; ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; 0 0 ··· langle v_n, v_n rangle]

    Ciò conferma che A è una matrice diagonale e l'asserto è dimostrato.

    Risposta di Galois
 
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