Soluzioni
  • Sai Maxs, questa domanda ha un sapore strano... Non ho idea di cosa significhi 

    "matrice associata a un prodotto scalare rispetto a una matrice diagonale"

    Mi sono incuriosito, quindi vorrei sapere cosa intendi esattamente :)

    Se ne sarò in grado risponderò subito dopo aver chiarito, altrimenti studio un po' e ti farò sapere :P 

    Risposta di Ifrit
  • OPS! Tongue

    "perchè matrice associata a un prodotto scalare rispetto a una base ortogonale è necessariamente diagonale?"

    Risposta di MAXS
  • Allur, ho studiato un pochetto :D

     

    Supponiamo d'avere uno spazio vettoriale V di dimensione  n definito su un campo \mathbb{K}. Supponiamo inoltre che su V è definito un prodotto scalare (V, \langle\cdot,\cdot \rangle).

    Siano

    B_V= \{v_1, \cdots , v_n\}, una base di V,. 

    x\in V allora si scrive come combinazione lineare della base B_V cioè:

    x= a_1 v_1+\cdots+a_n v_n  con a_i\in\mathbb{R}\quad i=1, \cdots, n

    Utilizzeremo la forma compatta:

    x=\sum_{k=1}^n a_i v_i

    • y\in V allora si scrive come combinazione lineare della base B_V cioè:

    y= b_1 v_1+\cdots+b_n v_n  con b_j\in\mathbb{R}\quad j=1, \cdots, n

    utilizzeremo la forma compatta:

    y=\sum_{j=1}^n b_j v_j

     

    A questo punto vediamo come agisce il prodotto scalare \langle\cdot,\cdot \rangle.

    \langle x,y\rangle=\left \langle \sum_{i=1}^n a_i v_i, \sum_{j=1}^n b_j v_j \right\rangle =

    A questo punto utilizziamo la linearità rispetto alla prima componente:

    =\sum_{i=1}^n a_i\left\langle  v_i, \sum_{j=1}^n b_j v_j \right\rangle =

    Utilizziamo la linearità rispetto alla seconda componente:

    =\sum_{i=1}^n a_i\sum_{j=1}^n b_j\left\langle  v_i,  v_j \right\rangle =

    A questo punto chiamando:

    a_{i, j}= \langle v_i, v_j\rangle \quad i,j=1, \cdots, n

    e ricordando che a_{i, j}=\langle v_i, v_j\rangle = \langle v_j, v_i\rangle= a_{j, i}

    (abbiamo sfruttato la simmetria del prodotto scalare)

    avremo che la matrice associata A al prodotto scalare rispetto alla base B di V è una matrice simmetrica, cioè tale che:

    A^T = A= \begin{pmatrix}\langle v_1, v_1\rangle & \cdots & \langle v_1, v_n\rangle\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle v_n, v_1\rangle, &\cdots,&\langle v_n, v_n\rangle \end{pmatrix}.

    Ottimo! A questo punto osserva che se B fosse una base ortogonale allora, per definizione di vettori ortogonali:

    \langle v_i,v_j\rangle =\begin{cases} \mu_i\ne 0&\mbox{ se }i=j\\ 0 &\mbox{se } i\ne j\end{cases}

     

    La matrice A è pertanto diagonale, perché tutti i termini che non giacciono sulla diagonale principale sono nulli!!!

     

    Se hai domande sono qui.... Non immagini nemmeno quanto sia stato difficile per me scrivere questa porcheria in Latex!! T_________T

    Risposta di Ifrit
  •   risposta: chiara, esaustiva e completa. Non si può chiedere di meglio! Grazie veramente :)

    Risposta di MAXS
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