Ciao Lolloviola, arrivo a risponderti...
graziieeeeeeeeee
Un punto dell'asse
è un punto che ha coordinate 
, dove la terza componente la lasciamo indicata come parametro.Per risolvere l'esercizio, dato che non abbiamo a che fare con un tetraedro regolare, è necessario impostare il calcolo del volume del tetraedro imponendo che esso valga
. Per fare ciò, bisogna considerare come riferimento un generico punto 
e considerare le proiezioni dei punti 
sul piano 
. Queste ci forniranno l'insieme di variabilità delle variabili 
.Fatto ciò, si può calcolare l'integrale facendo variare
tra i piani passanti per i vertici del tetraedro. Facendo riferimento alla proiezione sul piano , si può spezzare l'integrale in modo da poter limitare la variabile in ogni integrale tra due soli piani.I calcoli, però, sono abbastanza lunghi.
Namasté!
ma si potrebbe fare senza integrale?...visto che era richiesto come esercizio ad analisi I?grazie
Allora è ancora più semplice: avendo visto che l'esercizio è di un compito di Analisi avevo pensato che fosse richiesto il calcolo del volume con gli integrali...
Sarà sufficiente calcolare l'area del tetraedro nel modo standard: calcoli l'area del triangolo di base, sia essa
individuata dai tre punti 
, e chiami il quarto punto . L'area del triangolo la sai calcolare?Fatto ciò, calcoli la distanza del punto
dal piano dei tre punti : è chiaro che la proiezione di su tale piano deve essere interna al triangolo, ma di questo ce ne occupiamo dopo. La distanza appena calcolata è l'altezza del tetraedro (se la proiezione è interna al triangolo di base), quindi puoi calcolare il volume del tetraedro secondo la formula
e imporre
. Questa condizione fornisce un'equazione in 
che risolta fornirà i valori papabili per la quota del vertice.A questo punto bisogna controllare che la proiezione di tale/i punto/i sul piano dei tre punti
sia interna al triangolo 
.Namasté!
ma calcolo l'area del triangolo ABCD chiamando D=(0,0,t) oppure soltanto considerando ABC?...si potrebbero seguire i passaggi insieme?grazie! nn vorrei sbagliare!
Il triangolo è il triangolo di base
, mentre 
è il tetraedro.Per quanto riguarda i passaggi, non qui perché questa sezione del sito è concepita per domande e risposte veloci. Qui c'è da fare un bel po' di calcoli, dovrei stare tre quarti d'ora solamente a risolvere il tuo problema, e purtroppo non è possibile. Ci sono tantissime domande :)
Apri una discussione sul Forum, oppure se vuoi postami il tuo tentativo che lo correggiamo insieme.
Namasté!
okkk...l'area del triangolo mi viene radice di 56 fratto 2.....giusto?
Non è che così mi sia molto utile!
Il procedimento, più che i risultati intermedi...Namasté!
B-A = (1,4,5)
C-A = (1,2,1)
v= i +4j +5k
w= i+2j+k
li metto a determinante ed ottengo v vettor w = -6i +4j -2k
ne faccio il modulo = radice di 36+16+4 = radice di 56, e poi divido per 2...
Cioè calcoli il prodotto vettoriale con la formula del determinante. Continua pure, qui va tutto bene!
ok....come faccio adesso a calcolare la distanza del punto D dal piano dei tre punti A,B,C ??
Puoi calcolare l'equazione del piano passante per i tre punti
, dedurne la direzione normale al piano e individuare la normale al piano passante per . Fatto ciò, puoi individuare il punto 
in cui la normale interseca il piano e calcolare la distanza tra i due punti 
con la solita formula della distanza euclidea.Namasté!
si potrebbero fare insieme solo questi passaggi che non capisco proprio come farli?graziiee
Se si mantiene questa calma apparente, sì può fare
Andiamo per gradi: per calcolare l'equazione del piano passante per tre punti, di cui conosciamo le coordinate, è sufficiente calcolare il determinante della matrice
![[x-x_1 y-y_1 z-z_1 ; x_2-x_1 y_2-y_1 z_2-z_1 ; x_3-x_1 y_3-y_1 z_3-z_1]](/images/joomlatex/8/7/87ae3a7c4372c68f0f1ee028754cc5b9.gif)
che equazione ti risulta?
allora l'equazione mi torna.... -6x+4y-2z=0 ...giusta?
Sì, perché le coordinate dei tre punti verificano l'equazione, e per tre punti non allineati passa uno e un solo piano
Ora veniamo alla distanza: la normale al piano ha direzione data dai suoi parametri direttori, cioè
, e deve passare per il punto , quindi ha equazioni parametriche date da
dove
è la quota del punto mentre 
il parametro nelle equazioni parametriche. Sostituisci queste equazioni nell'equazione del piano e ricava in funzione di . Questo fornirà il valore del paramentro che individua il punto sulla retta.Devi calcolare la distanza tra il punto
e il punto 
ottenuto sostituendo nelle equazioni parametriche della retta il valore di in termini di . Namasté!
come mai nella z abbiamo scritto t-2s? grazie!
Perché il punto
ha coordinate generiche . Quella nella parametrica salta fuori dal passaggio per il punto , nelle altre "non c'è" perché le altre coordinate del punto sono nulle.Namasté!
torna s=1/28 t ?????
Sul mio fogliaccio di brutta vedo
, che dici?sostituendo viene
-6(-6s) +4(4s) -2(t-2s) =0
36s+16s-2t+4s=0
56s=2t
s=2/56 t
s= 1/28t
noo?
Ah! Mi ero perso un meno! Tutto a posto
adesso dove devo sostituire s ?...che mi sono perso!
E' tutto scritto nella risposta precedente: nell'equazione della retta in forma parametrica.
Namasté!
quando sostituisco ottengo
x= -6/28 t
y= 1/7 t
z= 13/14 t
giusto???
Ok, continua!
e adesso una volta trovato x,y,z che debbo fare?
Calcolare la distanza tra il punto
appena determinato e il punto con la formula della distanza euclidea
che sarà l'altezza del tetraedro, per poi calcolarne il volume come indicato in precedenza.
Namasté!
Xd , Yd, Zd
Xh , Yh , Zh
quali valori devo usare?
Non so perché ma ho l'impressione che tu abbia letto sì e no le mie risposte precedenti:
è il punto che hai individuato con l'ultima sostituzione nelle parametriche, mentre .Namasté!
quindi H=(-6/28 , 1/7, 13/14) ??
però la distanza mi rimane in funzione sempre di t?...perchè nella D compare la t!
La questione è molto diversa: il parametro
che rappresenta la quota del punto deve comparire sia nel punto che nel punto , perché è un parametro che verrà fissato dall'equazione fornita dal volume.Nelle coordinate del punto
manca il parametro .Namasté!
si potrebbe calcolare gentilmente la distanza insieme?....mi stò perdendo =(
Va bene:
tutto qui, evitami il supplizio della calcolatrice, per favore.
Namasté!
a me torna 12/28 t giusto?
Vuoi farmi usare a tutti i costi la calcolatrice? :)
diciamo di si!ahahha...è abbastanza veloce! ihih
una volta trovato la distanza , che sarebbe la mia h devo applicare la formula del volume?
Esattamente: e poni un'equazione in
, niente di più...Namasté!
quindi ottengo 60radice di 2 = radice di 56/2 * 18/28 t diviso 3
giusto?
Perché
e non 
?sisi scusami errore di battitura!....come faccio a rigirare quella formula?
Come nelle equazioni che si fanno in seconda liceo....
Namasté!
quindi D = (0,0, 10radicedi2 /radice di 56) torna cosi?
torna cosi allora????
Sono scomparsi un
e un 
. Non ci sto capendo più niente in questa D&R.Namasté!
prova te a rigirare la formula e mi dici quanto torna! ;)
mi potresti postare i passaggi x arrivare a tale risultato??grazieee =)
Direi che abbiamo adoperato un sufficiente numero di repliche. Chiudo.
Namasté!
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