Soluzioni
  • Ciao Lolloviola, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • graziieeeeeeeeee

    Risposta di lolloviola
  • Un punto dell'asse z è un punto che ha coordinate (0,0,t), dove la terza componente la lasciamo indicata come parametro.

    Per risolvere l'esercizio, dato che non abbiamo a che fare con un tetraedro regolare, è necessario impostare il calcolo del volume del tetraedro imponendo che esso valga 60\sqrt{2}. Per fare ciò, bisogna considerare come riferimento un generico punto D=(0,0,t) e considerare le proiezioni dei punti A,B,C,P sul piano z=0. Queste ci forniranno l'insieme di variabilità delle variabili x,y.

    Fatto ciò, si può calcolare l'integrale facendo variare z tra i piani passanti per i vertici del tetraedro. Facendo riferimento alla proiezione sul piano z=0, si può spezzare l'integrale in modo da poter limitare la variabile z in ogni integrale tra due soli piani.

    I calcoli, però, sono abbastanza lunghi.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ma si potrebbe fare senza integrale?...visto che era richiesto come esercizio ad analisi I?grazie

    Risposta di lolloviola
  • Allora è ancora più semplice: avendo visto che l'esercizio è di un compito di Analisi avevo pensato che fosse richiesto il calcolo del volume con gli integrali...

    Sarà sufficiente calcolare l'area del tetraedro nel modo standard: calcoli l'area del triangolo di base, sia essa S individuata dai tre punti A,B,C, e chiami il quarto punto D=(0,0,t). L'area del triangolo la sai calcolare?

    Fatto ciò, calcoli la distanza del punto D dal piano dei tre punti A,B,C: è chiaro che la proiezione di D su tale piano deve essere interna al triangolo, ma di questo ce ne occupiamo dopo. La distanza appena calcolata è l'altezza del tetraedro (se la proiezione è interna al triangolo di base), quindi puoi calcolare il volume del tetraedro secondo la formula

    V=\frac{S\cdot h}{3}

    e imporre V=60\sqrt{2}. Questa condizione fornisce un'equazione in t che risolta fornirà i valori papabili per la quota del vertice.

    A questo punto bisogna controllare che la proiezione di tale/i punto/i sul piano dei tre punti A,B,C sia interna al triangolo ABC.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ma calcolo l'area del triangolo ABCD chiamando D=(0,0,t) oppure soltanto considerando ABC?...si potrebbero seguire i passaggi insieme?grazie! nn vorrei sbagliare!

    Risposta di lolloviola
  • Il triangolo è il triangolo di base ABC, mentre ABCD è il tetraedro.

    Per quanto riguarda i passaggi, non qui perché questa sezione del sito è concepita per domande e risposte veloci. Qui c'è da fare un bel po' di calcoli, dovrei stare tre quarti d'ora solamente a risolvere il tuo problema, e purtroppo non è possibile. Ci sono tantissime domande :)

    Apri una discussione sul Forum, oppure se vuoi postami il tuo tentativo che lo correggiamo insieme.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • okkk...l'area del triangolo mi viene radice di 56 fratto 2.....giusto?

    Risposta di lolloviola
  • Non è che così mi sia molto utile! Laughing Il procedimento, più che i risultati intermedi...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • B-A = (1,4,5)

    C-A = (1,2,1)

    v= i +4j +5k

    w= i+2j+k

    li metto a determinante ed ottengo v vettor w = -6i +4j -2k

     

    ne faccio il modulo = radice di 36+16+4 = radice di 56, e poi divido per 2...

    Risposta di lolloviola
  • Cioè calcoli il prodotto vettoriale con la formula del determinante. Continua pure, qui va tutto bene!

    Risposta di Omega
  • ok....come faccio adesso a calcolare la distanza del punto D dal piano dei tre punti A,B,C ??

    Risposta di lolloviola
  • Puoi calcolare l'equazione del piano passante per i tre punti A,B,C, dedurne la direzione normale al piano e individuare la normale al piano passante per D. Fatto ciò, puoi individuare il punto H in cui la normale interseca il piano e calcolare la distanza tra i due punti D,H con la solita formula della distanza euclidea.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • si potrebbero fare insieme solo questi passaggi che non capisco proprio come farli?graziiee

    Risposta di lolloviola
  • Se si mantiene questa calma apparente, sì può fare Wink

    Risposta di Omega
  • Andiamo per gradi: per calcolare l'equazione del piano passante per tre punti, di cui conosciamo le coordinate, è sufficiente calcolare il determinante della matrice

    \begin{matrix}\left[x-x_1& y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1& z_3-z_1\right]\end{matrix}

    che equazione ti risulta?

    Risposta di Omega
  • allora l'equazione mi torna....    -6x+4y-2z=0 ...giusta?

    Risposta di lolloviola
  • Sì, perché le coordinate dei tre punti verificano l'equazione, e per tre punti non allineati passa uno e un solo piano Wink

    Ora veniamo alla distanza: la normale al piano ha direzione data dai suoi parametri direttori, cioè (-6,+4-2), e deve passare per il punto D, quindi ha equazioni parametriche date da

    x=-6s

    y=4s

    z=t-2s

    dove t è la quota del punto D mentre s il parametro nelle equazioni parametriche. Sostituisci queste equazioni nell'equazione del piano e ricava s in funzione di t. Questo fornirà il valore del paramentro s che individua il punto sulla retta.

    Devi calcolare la distanza tra il punto D e il punto (x(s),y(s),z(s)) ottenuto sostituendo nelle equazioni parametriche della retta il valore di s in termini di t

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • come mai nella z abbiamo scritto t-2s? grazie!

    Risposta di lolloviola
  • Perché il punto D ha coordinate generiche (0,0,t). Quella t nella parametrica salta fuori dal passaggio per il punto D, nelle altre "non c'è" perché le altre coordinate del punto sono nulle.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • torna s=1/28 t  ?????

    Risposta di lolloviola
  • Sul mio fogliaccio di brutta vedo s=-1/8 t, che dici?

    Risposta di Omega
  • sostituendo viene

    -6(-6s) +4(4s) -2(t-2s) =0

    36s+16s-2t+4s=0

    56s=2t

    s=2/56 t

    s= 1/28t 

    noo?

    Risposta di lolloviola
  • Ah! Mi ero perso un meno! Tutto a posto Wink

    Risposta di Omega
  • adesso dove devo sostituire s ?...che mi sono perso! Wink

    Risposta di lolloviola
  • E' tutto scritto nella risposta precedente: nell'equazione della retta in forma parametrica.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quando sostituisco ottengo

     

    x= -6/28 t

    y= 1/7 t

    z= 13/14 t

     

    giusto???

    Risposta di lolloviola
  • Ok, continua! 

    Risposta di Omega
  • e adesso una volta trovato x,y,z che debbo fare?

    Risposta di lolloviola
  • Calcolare la distanza tra il punto H appena determinato e il punto D con la formula della distanza euclidea

    dist(D,H)=\sqrt{(x_D-x_H)^2+(y_D-y_H)^2+(z_D-z_H)^2}

    che sarà l'altezza del tetraedro, per poi calcolarne il volume come indicato in precedenza.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Xd , Yd, Zd

    Xh , Yh , Zh   

    quali valori devo usare?

    Risposta di lolloviola
  • Non so perché ma ho l'impressione che tu abbia letto sì e no le mie risposte precedenti: H è il punto che hai individuato con l'ultima sostituzione nelle parametriche, mentre D=(0,0,t).

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quindi H=(-6/28 , 1/7, 13/14) ??

    però la distanza mi rimane in funzione sempre di t?...perchè nella D compare la t!

    Risposta di lolloviola
  • La questione è molto diversa: il parametro t che rappresenta la quota del punto D deve comparire sia nel punto D che nel punto H, perché è un parametro che verrà fissato dall'equazione fornita dal volume.

    Nelle coordinate del punto H manca il parametro t.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • si potrebbe calcolare gentilmente la distanza insieme?....mi stò perdendo =(

    Risposta di lolloviola
  • Va bene:

    dist(D,H)=\sqrt{\left(0+\frac{6}{28}t\right)^2+\left(0-\frac{1}{7}t\right)^2+\left(t-\frac{13}{14}t\right)^2}

    tutto qui, evitami il supplizio della calcolatrice, per favore.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • a me torna 12/28 t giusto?

    Risposta di lolloviola
  • Vuoi farmi usare a tutti i costi la calcolatrice? :)

    Risposta di Omega
  • diciamo di si!ahahha...è abbastanza veloce! ihih Wink

    Risposta di lolloviola
  • una volta trovato la distanza , che sarebbe la mia h devo applicare la formula del volume?

    Risposta di lolloviola
  • Esattamente: e poni un'equazione in t, niente di più...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quindi ottengo   60radice di 2 = radice di 56/2 * 18/28 t  diviso 3

     

    giusto?

    Risposta di lolloviola
  • Perché 18/28 t e non 12/28 t ?

    Risposta di Omega
  • sisi scusami errore di battitura!....come faccio a rigirare quella formula?

    Risposta di lolloviola
  • Come nelle equazioni che si fanno in seconda liceo....

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quindi D = (0,0, 10radicedi2 /radice di 56)    torna cosi?

    Risposta di lolloviola
  • torna cosi allora????

    Risposta di lolloviola
  • Sono scomparsi un 3 e un 28. Non ci sto capendo più niente in questa D&R.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • prova te a rigirare la formula e mi dici quanto torna! ;)

     

    Risposta di lolloviola
  • t=5\sqrt{56}

    Risposta di Omega
  • mi potresti postare i passaggi x arrivare a tale risultato??grazieee =)

    Risposta di lolloviola
  • Direi che abbiamo adoperato un sufficiente numero di repliche. Chiudo.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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