Soluzioni
  • L'integrale dell'equazione differenziale lineare del secondo ordine

    y''-5y'-6y = -xe^(-x)

    si esprime come la somma tra y_(o)(x) e y_(p)(x)

    y(x) = y_(o)(x)+y_(p)(x)

    in cui:

    • y_(o)(x) è l'integrale generale dell'equazione differenziale omogenea

    y''-5y'-6y = 0

    • y_(p)(x) è una soluzione particolare dell'equazione non omogenea che determineremo con il metodo di somiglianza. Proprio perché è una soluzione particolare, essa dovrà chiaramente soddisfare l'equazione

    y_(p)''(x)-5y_(p)'(x)-6y_(p)(x) = -xe^(-x)

    Integrale generale dell'omogenea

    Per determinare l'integrale generale dell'equazione omogenea

    y''-5y'-6y = 0

    scriviamo l'equazione caratteristica

    λ^2-5λ-6 = 0

    e calcoliamone le soluzioni con l'usuale formula del discriminante

     Δ = b^2-4ac = 25+24 = 49 ; λ_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(-5)±√(49))/(2·1) = (5±7)/(2) = -1 = λ_1 ; 6 = λ_2.

    Poiché Δ > 0, la famiglia di funzioni che soddisfano l'omogenea è

    y_(o)(x) = c_1e^(λ_1 x)+c_2e^(λ_2 x) =

    dove λ_1 = -1 e λ_2 = 6, mentre c_1,c_2 sono costanti reali.

    = c_1e^(-x)+c_2e^(6x)

    Soluzione particolare dell'equazione differenziale

    Per determinare una soluzione particolare y_(p)(x) dell'equazione differenziale sfruttiamo il metodo di somiglianza, che prevede di associare al termine forzante

    f(x) = -xe^(-x)

    una "funzione simile".

    Nel caso considerato, f(x) si presenta nella forma

    f(x) = P(x)e^(α x)

    in cui P(x) = -x e α = -1.

    Poiché inoltre α = -1 è soluzione dell'equazione caratteristica, una soluzione particolare dovrà assumere la seguente forma

    y_(p)(x) = x P(x)e^(α x)

    dove P(x) è un generico polinomio dello stesso grado di P(x), ossia

    P(x) = Ax+B

    Di conseguenza, y_(p)(x) diventa

    y_(p)(x) = x(Ax+B)e^(-x) = (Ax^2+Bx)e^(-x)

    Il prossimo passo consiste nel calcolare le costanti reali A e B in modo che y_p(x) soddisfi l'equazione non omogenea: abbiamo bisogno della derivata prima e della derivata seconda di y_(p)(x) per ricavarle.

    Calcoliamo la derivata prima di y_(p)(x)

     y_(p)'(x) = (d)/(dx)[y_(p)(x)] = (d)/(dx)[(Ax^2+Bx)e^(-x)] = (d)/(dx)[Ax^2+Bx]·e^(-x)+(Ax^2+Bx)·(d)/(dx)[e^(-x)] = (2Ax+B)e^(-x)+(Ax^2+Bx)(-e^(-x)) = e^(-x)[-Ax^2+(2A-B)x+B]

    e la derivata seconda

     y_(p)''(x) = (d)/(dx)[y_(p)'(x)] = (d)/(dx)[e^(-x)[-Ax^2+(2A-B)x+B]] = (d)/(dx)[e^(-x)]·(-Ax^2+(2A-B)x+B)+e^(-x)·(d)/(dx)[-Ax^2+(2A-B)x+B] = -e^(-x)(-Ax^2+(2A-B)x+B)+e^(-x)(-2Ax+2A-B) = e^(-x)(Ax^2-(2A-B)x-B-2Ax+2A-B) = e^(-x)(Ax^2-(4A-B)x+2A-2B)

    Sostituiamo le espressioni di y_(p)(x), y_(p)'(x), y_(p)''(x) nell'equazione differenziale

    y_(p)''(x)-5y_(p)'(x)-6y_(p)(x) = -xe^(-x)

    che diventa

     e^(-x)(Ax^2-(4A-B)x+2A-2B)+;-5e^(-x)[-Ax^2+(2A-B)x+B]+;-6(Ax^2+Bx)e^(-x) = -xe^(-x)

    ossia

    (-14Ax+2A-7B)e^(-x) = -xe^(-x)

    Semplificato e^(-x) a destra e a sinistra, otteniamo infine l'uguaglianza

    -14Ax+2A-7B = -x

    Sfruttiamo il principio di identità dei polinomi che ci permette di costruire il seguente sistema lineare nelle incognite A e B

    -14A = -1 ; 2A-7B = 0 → A = (1)/(14) , B = (1)/(49)

    Questi valori vanno sostituiti in y_(p)(x) e ne determinano univocamente l'espressione analitica:

     y_(p)(x) = (Ax^2+Bx)e^(-x) = ((1)/(14)x^2+(1)/(49)x)e^(-x)

    Finalmente possiamo concludere che l'integrale generale dell'equazione differenziale è

     y(x) = y_(o)(x)+y_(p)(x) = c_1e^(-x)+c_2e^(6x)+((1)/(14)x^2+(1)/(49)x)e^(-x)

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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