Soluzioni
  • L'integrale dell'equazione differenziale lineare del secondo ordine

    y''-5y'-6y=-xe^{-x}

    si esprime come la somma tra y_{o}(x)\ \mbox{e} \ y_{p}(x)

    y(x)=y_{o}(x)+y_{p}(x)

    in cui:

    \bullet \ \ \ y_{o}(x) è l'integrale generale dell'equazione differenziale omogenea

    y''-5y'-6y=0

    \bullet \ \ \ y_{p}(x) è una soluzione particolare dell'equazione non omogenea che determineremo con il metodo di somiglianza. Proprio perché è una soluzione particolare, essa dovrà chiaramente soddisfare l'equazione

    y_{p}''(x)-5y_{p}'(x)-6y_{p}(x)=-xe^{-x}

    Integrale generale dell'omogenea

    Per determinare l'integrale generale dell'equazione omogenea

    y''-5y'-6y=0

    scriviamo l'equazione caratteristica

    \lambda^2-5\lambda-6=0

    e calcoliamone le soluzioni con l'usuale formula del discriminante

    \\ \Delta=b^2-4ac=25+24=49\\ \\ \lambda_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\\ \\ \\ =\frac{5\pm 7}{2}=\left\{\begin{matrix}-1&=&\lambda_1\\ 6&=&\lambda_2\end{matrix}\right.

    Poiché \Delta>0, la famiglia di funzioni che soddisfano l'omogenea è

    y_{o}(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}=

    dove \lambda_1=-1 e \lambda_2=6, mentre c_1,c_2 sono costanti reali.

    =c_1e^{-x}+c_2e^{6x}

    Soluzione particolare dell'equazione differenziale

    Per determinare una soluzione particolare y_{p}(x) dell'equazione differenziale sfruttiamo il metodo di somiglianza, che prevede di associare al termine forzante

    f(x)=-xe^{-x}

    una "funzione simile".

    Nel caso considerato, f(x) si presenta nella forma

    f(x)=P(x)e^{\alpha x}

    in cui P(x)=-x e \alpha=-1.

    Poiché inoltre \alpha=-1 è soluzione dell'equazione caratteristica, una soluzione particolare dovrà assumere la seguente forma

    y_{p}(x)=x \overline{P}(x)e^{\alpha x}

    dove \overline{P}(x) è un generico polinomio dello stesso grado di P(x), ossia

    \overline{P}(x)=Ax+B

    Di conseguenza, y_{p}(x) diventa

    y_{p}(x)=x(Ax+B)e^{-x}=(Ax^2+Bx)e^{-x}

    Il prossimo passo consiste nel calcolare le costanti reali A\ \mbox{e} \ B in modo che y_p(x) soddisfi l'equazione non omogenea: abbiamo bisogno della derivata prima e della derivata seconda di y_{p}(x) per ricavarle.

    Calcoliamo la derivata prima di y_{p}(x)

    \\ y_{p}'(x)=\frac{d}{dx}[y_{p}(x)]=\frac{d}{dx}[(Ax^2+Bx)e^{-x}]= \\ \\ \\ =\frac{d}{dx}[Ax^2+Bx]\cdot e^{-x}+(Ax^2+Bx)\cdot\frac{d}{dx}[e^{-x}]= \\ \\ \\ =(2Ax+B)e^{-x}+(Ax^2+Bx)(-e^{-x})= \\ \\ = e^{-x}[-Ax^2+(2A-B)x+B]

    e la derivata seconda

    \\ y_{p}''(x)=\frac{d}{dx}[y_{p}'(x)]=\frac{d}{dx}\left[e^{-x}[-Ax^2+(2A-B)x+B]\right]=\\ \\ \\ =\frac{d}{dx}[e^{-x}]\cdot (-Ax^2+(2A-B)x+B)+e^{-x}\cdot\frac{d}{dx}[-Ax^2+(2A-B)x+B]= \\ \\ \\ =-e^{-x}(-Ax^2+(2A-B)x+B)+e^{-x}(-2Ax+2A-B)= \\ \\ =e^{-x}(Ax^2-(2A-B)x-B-2Ax+2A-B)= \\ \\ =e^{-x}(Ax^2-(4A-B)x+2A-2B)

    Sostituiamo le espressioni di y_{p}(x),\ y_{p}'(x),\ y_{p}''(x) nell'equazione differenziale

    y_{p}''(x)-5y_{p}'(x)-6y_{p}(x)=-xe^{-x}

    che diventa

    \\ e^{-x}(Ax^2-(4A-B)x+2A-2B)+\\ \\ -5e^{-x}[-Ax^2+(2A-B)x+B]+\\ \\ -6(Ax^2+Bx)e^{-x}=-xe^{-x}

    ossia

    (-14Ax+2A-7B)e^{-x}=-xe^{-x}

    Semplificato e^{-x} a destra e a sinistra, otteniamo infine l'uguaglianza

    -14Ax+2A-7B=-x

    Sfruttiamo il principio di identità dei polinomi che ci permette di costruire il seguente sistema lineare nelle incognite A\ \mbox{e}\ B

    \begin{cases}-14A=-1\\ 2A-7B=0\end{cases} \ \ \to \ \ A=\frac{1}{14}\ \ ,\ \ B=\frac{1}{49}

    Questi valori vanno sostituiti in y_{p}(x) e ne determinano univocamente l'espressione analitica:

    \\ y_{p}(x)=(Ax^2+Bx)e^{-x}= \\ \\ \\ =\left(\frac{1}{14}x^2+\frac{1}{49}x\right)e^{-x}

    Finalmente possiamo concludere che l'integrale generale dell'equazione differenziale è

    \\ y(x)=y_{o}(x)+y_{p}(x)=\\ \\ = c_1e^{-x}+c_2e^{6x}+\left(\frac{1}{14}x^2+\frac{1}{49}x\right)e^{-x}

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi