Lunghezza di una curva dall'equazione cartesiana

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Salve un esercizio sulla lunghezza delle curve mi dà l'equazione cartesiana di una curva e mi chiede di trovare la lunghezza del grafico su un intervallo, dopo aver ricavato le equazioni parametriche. Vorrei se possibile qualche indicazione per impostarlo e risolverlo. :)

 

Il grafico di una funzione f : [a,b] \rightarrow R ^ {2} , che sia di classe C^1, definisce una curva regolare  \gamma di equazioni parametriche r(t) = (t, f(t)) con t \in\ [a,b] . Infatti r^{'}(t) = (1 , f^{'} (t) ) non è mai nullo e dunque la curva è regolare.

 

Allora l'equazione cartesiana della curva è y= f(x)\ \ \ \mbox{con}\ \ \ x \in\ [a, b]

 

Tenendo conto di ciò, determinare la lunghezza della curva y=\sqrt{x^{3}} con x \in\ [0 , 1] .

Domanda di federico

 
Soluzioni

  • Ciao Federico, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per calcolare la lunghezza della curva, dobbiamo prima di tutto parametrizzare la curva sull'intervallo richiesto [0,1]. Per fare ciò, consideriamo come parametrizzazione

    x(t)=t

    y(t)=\sqrt{t^3}

    naturalmente con t\in [0,1].

    Ora dobbiamo semplicemente integrare l'arco sull'intervallo. Si fa riferimento ad un risultato assai noto, che se vuoi possiamo ricavare insieme (ma non qui, sul Forum! :p ). La lunghezza della curva sull'intervallo si calcola come

    L_{[a,b]}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+|f'(t)|^2}dt}

    cioè

    L_{[0,1]}=\int_{0}^{1}{\sqrt{1+\frac{3}{2}t^2}dt}

    a questo punto si tratta solamente di calcolare l'integrale. Sai farlo?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • si si l'integrale non è un problema...penso ke facendolo per sostituzione nn dovrebbero esserci problemi grazie..

    Risposta di federico

  • Figurati! Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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