Soluzioni
  • Ciao Xavier, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Vediamo un po'...:)

    • Ogni matrice è simile a una matrice diagonale

    Falso. Sono simili a una matrice diagonale solo quelle diagonalizzabili

    OK!

    • Due matrici sono simili se e solo se hanno gli stessi autovalori con le stesse

    molteplicità.

    Falso. Possono avere anche molteplicità diverse. L’importante è che la somma delle dimensioni degli autospazi diano la dimensione dello spazio ambiente?

    Il problema è il se e solo se...

    • Ogni matrice quadrata di ordine 3 con i tre autovalori coincidenti non è mai diagonalizzabile

    Falso. Per il motivo scritto sopra

    OK: ad esempio, prendi la matrice identità.

    • Sia A una matrice quadrata singolare di ordine due con traccia non nulla. Allora A ammette due autovettori indipendenti.

    Non necessariamente. Non sono condizioni sufficienti per soddisfare questa affermazione

    OK!

    • Sia S l’insieme delle matrici diagonalzzabili mediante la stessa matrice di passaggio P. Allora le matrici di S sono tutte simili.

    Domanda: le matrici diagonali sono tutte simili tra loro? Quindi l’affermazione dovrebbe essere vera

    Pensa alla definizione di "matrici simili". Qual'è la condizione richiesta sugli autovalori, ovvero sul polinomio caratteristico?.....

    • Una matrice reale di ordine due tale che det A = 0 è sempre diagonalizzabile.

    Falso. Prendi la matrice identicamente nulla

    • Una matrice diagonalizzabile con tutti gli autovalori uguali è sempre invertibile.

    Questa la trattiamo in una nuova domanda.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Pensa alla definizione di "matrici simili". Qual'è la condizione richiesta sugli autovalori, ovvero sul polinomio caratteristico?....           Due matrici A e B sono simili se esiste una matrice invertibile P tale che A=PBP^{-1}, ma non riesco a capire in questa definizione quale ruolo hanno gli autovalori

    Risposta di xavier310
  • Una conseguenza della definizione che hai scritto, e che è corretta, è proprio il fatto che due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico, quindi gli stessi autovalori. Una matrice diagonalizzabile in forma diagonale ha sulla diagonale principale gli autovalori, e quindi cosa ne deduci?

    Risposta di Omega
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