Soluzioni
  • La media geometrica di due o più valori numerici è per definizione la radice n-esima del prodotto dei valori considerati, con n il numero di valori, ed è un indicatore che fornisce una particolare informazione statistica relativa ai dati assegnati.

     

    Formula per calcolare la media geometrica

    Dati n numeri positivi

    x_1,\ x_2,\ ...,\ x_n

    la definizione di media geometrica stabilisce che tale tipo di media si ottiene estraendo la radice n-esima del loro prodotto.

    Da qui è immediato ricavare la formula della media geometrica:

    \mbox{Media geometrica}=\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}

    Se fosse sfuggito, richiamiamo l'attenzione sul fatto che i numeri tra cui si calcola la media geometrica debbano essere tutti positivi. Se vi state chiedendo il perché, il motivo è presto detto: la media geometrica si calcola a partire da un prodotto quindi, se anche uno solo dei numeri fosse nullo, per la legge di annullamento del prodotto risulterebbe

    x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n = 0

    e quindi non avrebbe alcun senso calcolare la media geometrica, che sarebbe automaticamente nulla.

    Inoltre, visto che poi bisogna estrarre la radice n-esima del prodotto, nel caso n fosse un numero pari dovremmo avere la certezza che il radicando sia un numero positivo, perché non ha senso calcolare la radice ad indice pari di un numero negativo.

    Per questo motivo la media geometrica si definisce solo per numeri positivi.

     

    Formula compatta della media geometrica

    Se sapete cos'è una produttoria, facendo riferimento ad essa possiamo esprimere in forma compatta la formula per il calcolo della media geometrica di n numeri positivi x1, x2, …, xn.

    \mbox{Media geometrica}=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}x_k}

     

    Esempi di calcolo della media geometrica

    Come risulta evidente dalla formula della media geometrica, il calcolo di tale media dipende dal numero di elementi presi in considerazione.

    Ad esempio, per calcolare la media geometrica tra 27 e 3 dobbiamo dapprima moltiplicare tra loro i due numeri

    27 \cdot 3 = 81

    per poi estrarne la radice quadrata (visto che sono 2 elementi). Di conseguenza

    \sqrt{27 \cdot 3}=\sqrt{81}=9

     

    Allo stesso modo, per procedere al calcolo della media geometrica tra 2, 9 e 12, dal momento che abbiamo a che fare con tre valori dovremo estrarre la radice cubica del loro prodotto

    \sqrt[3]{2 \cdot 9 \cdot 12}=\sqrt[3]{216}=6

     

    Osserviamo che la definizione non si limita ad un particolare tipo di numeri. Possiamo determinare la media geometrica di numeri naturali, di numeri decimali, di numeri irrazionali o di frazioni. Poco importa: la formula per il calcolo della media geometrica non cambia, l'unica condizione è che i numeri considerati siano positivi.

     

    Ad esempio, la media geometrica tra 8/9, 2/3, 1/8 e 1/6 si ricava svolgendo il prodotto tra frazioni ed estraendone la radice quarta:

    \sqrt[4]{\frac{8}{9} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{6}}=\ \sqrt[4]{\frac{16}{1296}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

     

    Legame tra media geometrica e media aritmetica

    Ricorrendo al logaritmo ed alle sue proprietà possiamo mettere in relazione la media geometrica con la media aritmetica.

    Nello specifico, il logaritmo della media geometrica di n numeri positivi coincide con la media aritmetica dei logaritmi degli n numeri.

    Infatti, indicata con xG la media geometrica tra x1, x2, … , xn, si ha

    x_G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n} = \left(x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n\right)^{\frac{1}{n}}

    da cui

    \begin{align*} \log\left(x_G\right) & = \log\left[\left(x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n\right)^{\frac{1}{n}}\right]= \\ \\ & = \frac{1}{n}\log\left[x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n\right]= \\ \\ & = \frac{\log(x_1)+\log(x_2)+...+\log(x_n)}{n} \end{align*}

    dove le ultime due uguaglianza discendono da due proprietà dei logaritmi.

    In ultima analisi osserviamo che la media aritmetica di n numeri è sempre maggiore o uguale della loro media geometrica.

    \mbox{Media aritmetica}(x_1,\ x_2,\ ...,\ x_n)\geq \mbox{Media geometrica}(x_1,\ x_2,\ ...,\ x_n)

    e tale risultato può essere facilmente dimostrato per induzione.


    Altri tipi di medie oltre alla media geometrica

    Come ben sappiamo gli indicatori statistici più semplici e più utilizzati, soprattutto alle scuole medie e superiori, sono media moda e mediana. Oltre a questi anche la media ponderata ricopre un importante ruolo in moltissime semplici applicazioni.

    La media geometrica è un tipo di media estremamente particolare che viene affrontato solo in particolari tipi di facoltà universitarie. Gli ambiti privilegiati sono nello specifico la Statistica e l'Economia, in cui oltre alla media geometrica può capitare di ricorrere alla media armonica e alla media quadratica.

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Senza categoria