Matrice associata e cambiamento di base

Salve ragazzi ho un esercizio sulla matrice associata rispetto a due basi diverse, riguarda un endomorfismo. Volevo gentilmente chiedervi qualche indicazione per la risoluzione, con i conti poi me la vedo io. :)

 

Dato l’endomorfismo f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} tale che

 

f(v_1) = (3, 1, 0),\ f(v_2) = (−1, 0, 2),\ f(v_3) = (0, 2, 0)

 

determinare la matrice associata ad f rispetto a B=\{(v_1,v_2,v_3)\} dove v_1=(1,0,1),\ v_2=(0,1,-1),\ v_3=(0,0,2) e e rispetto alla base canonica C=\{e_1,e_2,e_3\}.

In Uni - Algebra - Domanda di Alessandro

Soluzioni

  • Ciao Alessandro, grazie per aver riaperto la domanda, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per prima cosa bisogna determinare la matrice associata all'endomorfismo, che si scrive relativamente alla base \{v_1,v_2,v_3\} come matrice avente per colonne i vettori immagine.

    Fatto ciò, si tratta di individuare la matrice del cambiamento di base dalla base \{v_1,v_2,v_3\} alla base canonica \{e_1,e_2,e_3\}.

    Tale matrice si ottiene disponendo per colonne i vettori della base \{v_1,v_2,v_3\}, e scritta in questo modo è riferita alla base canonica. Chiamiamo tale matrice N^{-1}.

    La matrice di cambiamento di base dalla base canonica alla base \{v_1,v_2,v_3\} si ottiene determinando l'inversa della matrice N, chiamiamola N.

    Infine, se chiamiamo A_{B} la matrice riferita alla nuova base e A_{B'} la matrice riferita alla base \{v_1,v_2,v_3\}, vale la seguente relazione che lega le due rappresentazioni

    A_{B}=N^{-1}A_{B'}N

    e va sotto il nome di formula del cambiamento di base per endomorfismi.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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