Matrice associata e cambiamento di base

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Salve ragazzi ho un esercizio sulla matrice associata rispetto a due basi diverse, riguarda un endomorfismo. Volevo gentilmente chiedervi qualche indicazione per la risoluzione, con i conti poi me la vedo io. :)

 

Dato l’endomorfismo f:R → R tale che

 

f(v_1) = (3, 1, 0), f(v_2) = (−1, 0, 2), f(v_3) = (0, 2, 0)

 

determinare la matrice associata ad f rispetto a B = (v_1,v_2,v_3) dove v_1 = (1,0,1), v_2 = (0,1,-1), v_3 = (0,0,2) e e rispetto alla base canonica C = e_1,e_2,e_3.

Domanda di Alessandro

 
Soluzioni

  • Ciao Alessandro, grazie per aver riaperto la domanda, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per prima cosa bisogna determinare la matrice associata all'endomorfismo, che si scrive relativamente alla base v_1,v_2,v_3 come matrice avente per colonne i vettori immagine.

    Fatto ciò, si tratta di individuare la matrice del cambiamento di base dalla base v_1,v_2,v_3 alla base canonica e_1,e_2,e_3.

    Tale matrice si ottiene disponendo per colonne i vettori della base v_1,v_2,v_3, e scritta in questo modo è riferita alla base canonica. Chiamiamo tale matrice N^(-1).

    La matrice di cambiamento di base dalla base canonica alla base v_1,v_2,v_3 si ottiene determinando l'inversa della matrice N, chiamiamola N.

    Infine, se chiamiamo A_(B) la matrice riferita alla nuova base e A_(B') la matrice riferita alla base v_1,v_2,v_3, vale la seguente relazione che lega le due rappresentazioni

    A_(B) = N^(-1)A_(B')N

    e va sotto il nome di formula del cambiamento di base per endomorfismi.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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