Esercizio: base di autovettori di un endomorfismo

Ci viene assegnato l'endomorfismo definito da

e occorre calcolare, laddove possibile, una base di formata da autovettori dell'endomorfismo .

Condizione necessaria e sufficiente affinché esista una base di formata da autovettori di è che sia un endomorfismo diagonalizzabile.

Per il teorema di diagonalizzabilità, è diagonalizzabile se e solo se i suoi autovalori soddisfano le seguenti condizioni:

- la somma delle molteplicità algebriche è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale ;

- per ogni autovalore di le molteplicità algebrica e geometrica coincidono.

In particolare, poiché la dimensione di è uguale a 4, se ammette esattamente 4 autovalori distinti allora è diagonalizzabile, e quindi esiste una base di formata da autovettori di . Questa base è data dall'unione delle basi degli autospazi di .

Procediamo, allora, al calcolo degli autovalori di .

Prendiamo la base canonica di

e calcoliamo la matrice associata a rispetto a .

Le colonne di questa matrice, che indichiamo con , sono i vettori . Calcoliamoli!

per cui

Poiché è un endomorfismo definito su uno spazio vettoriale reale, i suoi autovalori sono gli zeri reali del polinomio caratteristico associato ad .

Calcoliamo il determinante con uno sviluppo Laplace rispetto alla terza riga

sempre per Laplace, riferito alla terza riga

sviluppiamo il determinante della matrice

svolgiamo i calcoli nella coppia di parentesi quadre

nell'ultima coppia di parentesi tonde raccogliamo a fattor comune

In definitiva:

I suoi zeri reali, nonché gli autovalori di , sono:

dunque è diagonalizzabile.

Per calcolare una base di formata da autovettori di occorre determinare una base per ciascuno degli autospazi .

Basi degli autospazi relativi agli autovalori di

In generale, se è un autovalore di un endomorfismo , l'autospazio relativo a è il sottospazio vettoriale di così definito:

Se indichiamo con la matrice associata a rispetto alla base canonica di , con il vettore delle coordinate di rispetto alla base canonica e con il vettore colonna nullo, allora una base di coincide con una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

Tornando alla nostra applicazione abbiamo che:

Sia il vettore delle coordinate rispetto alla base di e indichiamo con il vettore colonna nullo.

Una base di è una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

ossia

Troviamone la forma esplicita

da cui

La sua matrice dei coefficienti è , che ha rango pari a 3. Per il teorema di Rouché-Capelli il sistema ammette soluzioni date da

per cui

Procedendo allo stesso modo si ottiene che

In conclusione, una base di formata da autovettori di è

È tutto!