Soluzioni
  • Ciao Namis, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Ciao! Ho bisogno di alcuni chiarimenti sull'autospazio. Potreste darmi una mano?

    Certo! Laughing

    L'autospazio sarebbe l'insieme degli autovettori generati da un determinato autovalore?

    L'autospazio associato ad un autovalore è lo spazio generato dagli autovettori associati all'autovalore. Per intenderci, è

    Ker(A-\lambda I)

    dove \lambda è un autovalore di A

    Ad es. se ho un autovalore t con m.g.=2, avrò 2 autovettori che formano l'autospazio, giusto?

    Sì, è corretto: avrai una base dell'autospazio costituita da due autovettori linearmente indipendenti.

    Se si quindi quando mi chiede una base di autovettori posso prendere tutti gli autospazi e unirli. O è lo spazio generato dagli autovettori della matrice (cioè quelli generati da tutti gli autovalori)?

    Puoi determinare una base di autovettori solamente se la matrice è diagonalizzabile. Più che di unire gli autospazi, si tratta di unire le basi degli autospazi.

    Se la matrice non è diagonalizzabile (ossia m.a.!=m.g.) gli autovettori si possono ricavare ugualmente?

    Gli autovettori associati ad un autovalore esistono sempre, sì, proprio perché l'autovalore è un autovalore e quindi

    Ker(A-\lambda I)\neq \{0\}

    Gli autovettori diciamo che si possono ricavare come il nucleo sostanzialmente, cioè rispettando le condizioni delle variabili che mi impone il sistema ottenuto sostituendo l'autovalore nella matrice, poi aggiungere tanti vettori l.i. finquando il loro numero non è uguale alla m.g. dell'autovalore?

    Oh, yes! Gli autovettori associati ad un autovalore \lambda sono proprio gli elementi del nucleo della suddetta matrice

    A-\lambda I

    Se ad es. sono in R3, una base di R3 deve avere 3 vettori l.i., giusto? ad es. (1,0,0) e (0,1,0) è un sistema l.i., ma non è una base. Per ottenere una base posso aggiungere il vettore (0,0,1), così arrivo a 3 vettori l.i. Giusto?

    Questo è corretto, ma non ha a che vedere, se non parzialissimamente, con il discorso precedente...

    Namasté!

    Risposta di Omega
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