Procedimento per integrale indefinito fratto con radice

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Salve a tutti. Nel caso del calcolo di un integrale fratto con radice come il seguente (non lineare) come devo procedere? Applico sempre la formula per parti, ma come? Ad esempio:

 

∫ (a2-x2)-1/2 dx.

 

Grazie in anticipo.

Domanda di povi

 
Soluzioni

  • Ciao Povi, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per calcolare integrali della forma

    ∫(1)/(√(a^2-x^2))dx

    bisogna procedere per parti, considerando 1 come derivata di x.

    Ma, dato che prima parlavamo di integrali simili a questo, con piccole differenze che però sono sostanziali, ti chiedo: l'integrale è di questa forma, oppure è del tipo

    ∫(x)/(√(a^2-x^2))dx

    ?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • L'integrale è:

    ∫(1)/(sqrta^2-x^2)dx

    Risposta di povi

  • Ancora meglio, e anzi: ancora più veloce! Basta osservare che

    (d)/(dx) arcsin(x) = (1)/(√(1-x^2))

    quindi nell'integrale si può raccogliere un a^2 sotto radice

    ∫(1)/(√(a^2-x^2))dx = ∫(1)/(|a|√(1-(x^2)/(a^2)))dx

    e applicare la formula di integrazione diretta:

    ∫(1)/(|a|√(1-(x^2)/(a^2)))dx = arcsin((x)/(a))+c

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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