Soluzioni
  • Ciao Povi, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per calcolare l'integrale

    \int{x(a-x)^{\frac{1}{2}}dx}

    si può procedere con la formula di integrazione per parti

    \int{f'(x)g(x)dx}=f(x)g(x)-\int{f(x)g'(x)dx}

    qui prendiamo g(x)=x e f'(x)=(x-a)^{\frac{1}{2}}.

    Ci basta infatti osservare che in tal caso

    f(x)=\frac{(x-a)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}

    quindi

    \int{x(a-x)^{\frac{1}{2}}dx}=\frac{2}{3}(x-a)^{\frac{3}{2}}x-\int{\frac{2}{3}(x-a)^{\frac{3}{2}}dx}

    ora l'integrale che resta è semplice:

    -\int{\frac{2}{3}(x-a)^{\frac{3}{2}}dx}=-\frac{2}{3}\frac{2}{5}(x-a)^{\frac{5}{2}+c

    quindi l'integrale in definitiva è dato da

    \int{x(a-x)^{\frac{1}{2}}dx}=\frac{2}{3}(x-a)^{\frac{3}{2}}x-\frac{4}{15}(x-a)^{\frac{5}{2}}+c

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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