Autovalori e autovettori della matrice inversa

Data una matrice invertibile di ordine e indicata con la sua inversa, dobbiamo dimostrare che gli autovalori di sono i reciproci degli autovalori di e che le matrici e hanno gli stessi autovettori.

Sia un qualsiasi autovalore di e indichiamo con il rispettivo autovettore. Dobbiamo provare che è un autovalore di e che è l'autovettore associato.

Dalle definizioni di autovalore e autovettore di una matrice segue che

Moltiplichiamo ambo i membri a sinistra per

Per la proprietà associativa del prodotto tra matrici , mentre per una proprietà del prodotto di una matrice per uno scalare abbiamo che dunque riscriviamo la precedente uguaglianza come

Il prodotto tra una matrice e la sua inversa restituisce la matrice identità, che è l'elemento neutro del prodotto riga per colonna, per cui

Ricordiamo ora che il determinante di una matrice è uguale al prodotto dei suoi autovalori. Per ipotesi, è invertibile, pertanto il suo determinante è non nullo e quindi tutti gli autovalori di sono diversi da zero. Ciò permette di dividere ambo i membri per

Semplifichiamo e invertiamo l'uguaglianza

Dalle definizioni di autovalore e autovettore di una matrice segue che è un autovalore di e che il corrispondente autovettore è , ed è proprio quello che volevamo dimostrare.