Soluzioni
  • Data una matrice invertibile A di ordine n e indicata con A^{-1} la sua inversa, dobbiamo dimostrare che gli autovalori di A^{-1} sono i reciproci degli autovalori di A e che le matrici A e A^{-1} hanno gli stessi autovettori.

    Sia \lambda un qualsiasi autovalore di A e indichiamo con \mathbf{v} il rispettivo autovettore. Dobbiamo provare che \frac{1}{\lambda} è un autovalore di A^{-1} e che \mathbf{v} è l'autovettore associato.

    Dalle definizioni di autovalore e autovettore di una matrice segue che

    A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

    Moltiplichiamo ambo i membri a sinistra per A^{-1}

    A^{-1}(A \mathbf{v}) = A^{-1}(\lambda \mathbf{v})

    Per la proprietà associativa del prodotto tra matrici A^{-1}(A \mathbf{v})=(A^{-1}A)\mathbf{v}, mentre per una proprietà del prodotto di una matrice per uno scalare abbiamo che A^{-1}(\lambda \mathbf{v})=\lambda(A^{-1}\mathbf{v}) dunque riscriviamo la precedente uguaglianza come

    (A^{-1}A) \mathbf{v} = \lambda (A^{-1} \mathbf{v})

    Il prodotto tra una matrice e la sua inversa restituisce la matrice identità, che è l'elemento neutro del prodotto riga per colonna, per cui

    \mathbf{v} = \lambda (A^{-1} \mathbf{v})

    Ricordiamo ora che il determinante di una matrice è uguale al prodotto dei suoi autovalori. Per ipotesi, A è invertibile, pertanto il suo determinante è non nullo e quindi tutti gli autovalori di A sono diversi da zero. Ciò permette di dividere ambo i membri per \lambda

    \frac{1}{\lambda} \ \mathbf{v} = \frac{\lambda(A^{-1} \mathbf{v})}{\lambda}

    Semplifichiamo e invertiamo l'uguaglianza

    A^{-1} \mathbf{v} = \frac{1}{\lambda} \ \mathbf{v}

    Dalle definizioni di autovalore e autovettore di una matrice segue che \frac{1}{\lambda} è un autovalore di A^{-1} e che il corrispondente autovettore è \mathbf{v}, ed è proprio quello che volevamo dimostrare.

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Algebra Lineare