Dimostrazione del limite notevole del seno

Question

Ciao, mi potete aiutare con la dimostrazione del limite notevole del seno? lim (x->0) di (sinx)/x = 1 Se potete, mi spiegate in maniera più semplice possibile la dimostrazione usando il teorema del confronto? Grazie mille!

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Ciao DoctorWho,

procediamo subito con la dimostrazione, e mettiamoci nel caso in cui θ tenda a zero da destra, quindi è positivo. Nel caso in cui tenda a zero da sinistra la dimostrazione sarà del tutto analoga, ma dovrai invertire opportunamente il verso delle disuguaglianze.

Passo 1: osserviamo che per angoli θ piccoli si ha che

sin(θ) ≤ θ ≤ tg(θ)

Passo 2: dividiamo la disuguaglianza ottenuata al passo 1 per sin(θ), otteniamo:

1 ≤ θ/sin(θ) ≤ 1/cos(θ)

Passo 3: facciamo il reciproco di tutti gli elementi della nuova disuguaglianza, ricordandoci di cambiare i versi della disuguaglianza:

1 ≥ sin(θ)/θ ≥ cos(θ)

Ora, il limte per x che tende a zero del coseno da 1, quindi non abbiamo altra soluzione se non

lim_x→0(sin(θ)/θ)=1

Q.E.D.

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