Dimostrazione del limite notevole del seno

Ciao DoctorWho,

procediamo subito con la dimostrazione, e mettiamoci nel caso in cui θ tenda a zero da destra, quindi è positivo. Nel caso in cui tenda a zero da sinistra la dimostrazione sarà del tutto analoga, ma dovrai invertire opportunamente il verso delle disuguaglianze.

Passo 1: osserviamo che per angoli θ piccoli si ha che 

sin(θ) ≤ θ ≤ tg(θ)

Passo 2: dividiamo la disuguaglianza ottenuata al passo 1 per sin(θ), otteniamo:

1 ≤ θ/sin(θ) ≤ 1/cos(θ)

Passo 3: facciamo il reciproco di tutti gli elementi della nuova disuguaglianza, ricordandoci di cambiare i versi della disuguaglianza:

1 ≥ sin(θ)/θ ≥ cos(θ)

Ora, il limte per x che tende a zero del coseno da 1, quindi non abbiamo altra soluzione se non

lim_x→0(sin(θ)/θ)=1

Q.E.D.

Alpha