Soluzioni
  • Vediamo come calcolare l'integrale improprio di prima specie

    \int_{1}^{+\infty}\frac{\arctan(x)}{x^2}dx=

    che è appunto un integrale improprio perché il dominio di integrazione [1, +\infty) è un intervallo illimitato.

    Per definizione, il precedente integrale si scrive come

    =\lim_{M\to +\infty}\int_{1}^{M}\frac{\arctan(x)}{x^2}dx

    In sostanza per risolvere l'integrale improprio dobbiamo calcolare l'integrale al variare di M, e dopodiché determinare il limite per M\to +\infty: è quello che faremo.

    Fissiamo M>1 e consideriamo l'integrale

    I_{M}=\int_{1}^{M}\frac{\arctan(x)}{x^2}dx

    che per essere risolto possiamo utilizzare la formula per gli integrali per parti, prendendo come derivata il fattore \frac{1}{x^2}.

    Per rendere più chiare le cose, notiamo che per definizione di potenza con esponente negativo si ha che

    \frac{1}{x^2}=x^{-2}

    e dunque l'integrale diventa

    I_{M}=\int_{1}^{M}x^{-2}\arctan(x)dx

    Scegliamo come fattore finito l'arcotangente

    f(x)=\arctan(x)\implies f'(x)=\frac{1}{1+x^2}

    Prendiamo come fattore differenziale il fattore

    g'(x)=x^{-2}\ \to\ g(x)=-x^{-1}

    (la primitiva si ottiene utilizzando la regola per l'integrale di una potenza) e per il metodo di integrazione per parti si ha che:

    I_{M}=[-x^{-1}\arctan(x)]_{1}^{M}-\int_{1}^{M}\left(-x^{-1}\cdot\frac{1}{1+x^2}\right)dx=

    Nell'integrale trasformiamo x^{-1} sotto forma di frazione e svolgiamo i semplici calcoli

    \\ =[-M^{-1}\arctan(M)-(-1^{-1}\arctan(1))]-\int_{1}^{M}\frac{-1}{x(1+x^2)}dx=\\ \\ \\ =\left[-M^{-1}\arctan(M)-\left(-1\cdot\frac{\pi}{4}\right)\right]+\int_{1}^{M}\frac{1}{x(1+x^2)}dx

    Lasciamo perdere per il momento il termine che c'è all'interno delle parentesi quadre e concentriamoci sul calcolo dell'integrale

    \int_{1}^{M}\frac{1}{x(1+x^2)}dx

    Esso è un integrale di una funzione razionale fratta e può essere affrontato mediante il metodo dei fratti semplici.

    Osserviamo che il denominatore dell'integranda è già scomposto come prodotto di fattori irriducibili, e a ciascuno di essi va associato il relativo fratto semplice:

    - a x associamo \frac{A}{x};

    - a \frac{1}{1+x^2} associamo \frac{Bx+C}{x^2+1},

    dove A, \ B\mbox{ e }C sono costanti reali da determinare così che rendano l'identità

    \frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}

    Scriviamo ambo i membri a denominatore comune e svolgiamo i prodotti

    \frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{Ax^2+A+Bx^2+Cx}{x(x^2+1)}

    Cancelliamo i denominatori, oramai hanno svolto il loro compito e raccogliamo secondo le potenza di x al secondo membro

    1=(A+B)x^2+C x+A

    Adesso interviene il principio di identità dei polinomi, il quale ci assicura che due polinomi sono identici se e solo se i termini dello stesso grado sono uguali. Imponiamo l'uguaglianza così da ottenere il sistema lineare

    \begin{cases}A+B=0 \\ C= 0 \\ A=1\end{cases}

    da cui otteniamo abbastanza facilmente che i tre parametri valgono rispettivamente A=1, \ B=-1, \ C=0.

    Possiamo quindi scrivere che

    \\ \int_{1}^{M}\frac{1}{x(1+x^2)}dx=\int_{1}^{M}\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}\right)dx= \\ \\ \\ = \int_{1}^{M}\frac{1}{x}dx-\int_{1}^{M}\frac{x}{1+x^2}dx

    Il primo è un integrale immediato; il secondo è anch'esso un integrale immediato, a patto di moltiplicare e dividere per 2:

    \\ =[\ln(|x|)]_{1}^{M}-\left[\ln\left(|1+x^2|\right)\right]_{1}^{M}= \\ \\ =(\ln(|M|)-\ln(1))-\frac{1}{2}(\ln(|M^2+1|)-\ln(2))=\\ \\ =\ln(|M|)-\frac{1}{2}\ln(|1+M^2|)+\frac{\ln(2)}{2}=

    che grazie alle proprietà dei logaritmi si riscrive come

    \\ =\ln(|M|)-\ln(\sqrt{1+M^2})+\ln(\sqrt{2})= \\ \\ = \ln\left(\frac{M}{\sqrt{1+M^2}}\right)+\ln(\sqrt{2})

    Abbiamo finalmente gli elementi per ricostruire l'integrale I_M

    \\ I_{M}=\left[-M^{-1}\arctan(M)-\left(-1\cdot\frac{\pi}{4}\right)\right]+\int_{1}^{M}\frac{1}{x(1+x^2)}dx= \\ \\ \\ = \left[-M^{-1}\arctan(M)+\frac{\pi}{4}\right]+\ln\left(\frac{|M|}{\sqrt{1+M^2}}\right)+\ln(\sqrt{2})

    Facciamo tendere M\to +\infty e vediamo come si comportano i termini

    - il termine M^{-1}\to 0;

    - il termine \arctan(M)\to \frac{\pi}{2};

    - il termine \ln\left(\frac{|M|}{\sqrt{1+M^2}}\right)\to 0,

    perché l'argomento del logaritmo tende a 1 e lo si può dimostrare osservando che all'infinito sussiste la stima asintotica

    \sqrt{1+M^2}\sim_{M\to +\infty}\sqrt{M^2}=|M|\implies \lim_{M\to +\infty}\frac{|M|}{\sqrt{M^2+1}}=1

    In definitiva possiamo concludere che

    \int_{1}^{+\infty}\frac{\arctan(x)}{x^2}dx=\lim_{M\to +\infty}I_{M}=\ln(\sqrt{2})+\frac{\pi}{4}

    e poiché il limite esiste ed è finito, l'integrale improprio converge e il suo valore coincide con quello del limite appena calcolato.

    Risposta di Ifrit
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