Integrale improprio da calcolare per parti

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Devo calcolare un integrale improprio per parti dopo averne studiato la convergenza: il fatto che si debba integrare per parti me lo suggerisce il libro, ma la presenza dell'arcotangente nella funzione integranda mi scoraggia molto. Potreste aiutarmi per favore?

 

∫_(1)^(+∞)(arctan(x))/(x^2)dx

Domanda di Volpi

 
Soluzioni

  • Vediamo come calcolare l'integrale improprio di prima specie

    ∫_(1)^(+∞)(arctan(x))/(x^2)dx =

    che è appunto un integrale improprio perché il dominio di integrazione [1,+∞) è un intervallo illimitato.

    Per definizione, il precedente integrale si scrive come

    = lim_(M → +∞)∫_(1)^(M)(arctan(x))/(x^2)dx

    In sostanza per risolvere l'integrale improprio dobbiamo calcolare l'integrale al variare di M, e dopodiché determinare il limite per M → +∞: è quello che faremo.

    Fissiamo M > 1 e consideriamo l'integrale

    I_(M) = ∫_(1)^(M)(arctan(x))/(x^2)dx

    che per essere risolto possiamo utilizzare la formula per gli integrali per parti, prendendo come derivata il fattore (1)/(x^2).

    Per rendere più chiare le cose, notiamo che per definizione di potenza con esponente negativo si ha che

    (1)/(x^2) = x^(-2)

    e dunque l'integrale diventa

    I_(M) = ∫_(1)^(M)x^(-2)arctan(x)dx

    Scegliamo come fattore finito l'arcotangente

    f(x) = arctan(x) ⇒ f'(x) = (1)/(1+x^2)

    Prendiamo come fattore differenziale il fattore

    g'(x) = x^(-2) → g(x) = -x^(-1)

    (la primitiva si ottiene utilizzando la regola per l'integrale di una potenza) e per il metodo di integrazione per parti si ha che:

    I_(M) = [-x^(-1)arctan(x)]_(1)^(M)-∫_(1)^(M)(-x^(-1)·(1)/(1+x^2))dx =

    Nell'integrale trasformiamo x^(-1) sotto forma di frazione e svolgiamo i semplici calcoli

    = [-M^(-1)arctan(M)-(-1^(-1)arctan(1))]-∫_(1)^(M)(-1)/(x(1+x^2))dx = [-M^(-1)arctan(M)-(-1·(π)/(4))]+∫_(1)^(M)(1)/(x(1+x^2))dx

    Lasciamo perdere per il momento il termine che c'è all'interno delle parentesi quadre e concentriamoci sul calcolo dell'integrale

    ∫_(1)^(M)(1)/(x(1+x^2))dx

    Esso è un integrale di una funzione razionale fratta e può essere affrontato mediante il metodo dei fratti semplici.

    Osserviamo che il denominatore dell'integranda è già scomposto come prodotto di fattori irriducibili, e a ciascuno di essi va associato il relativo fratto semplice:

    - a x associamo (A)/(x);

    - a (1)/(1+x^2) associamo (Bx+C)/(x^2+1),

    dove A, B e C sono costanti reali da determinare così che rendano l'identità

    (1)/(x(1+x^2)) = (A)/(x)+(Bx+C)/(x^2+1)

    Scriviamo ambo i membri a denominatore comune e svolgiamo i prodotti

    (1)/(x(1+x^2)) = (Ax^2+A+Bx^2+Cx)/(x(x^2+1))

    Cancelliamo i denominatori, oramai hanno svolto il loro compito e raccogliamo secondo le potenza di x al secondo membro

    1 = (A+B)x^2+C x+A

    Adesso interviene il principio di identità dei polinomi, il quale ci assicura che due polinomi sono identici se e solo se i termini dello stesso grado sono uguali. Imponiamo l'uguaglianza così da ottenere il sistema lineare

    A+B = 0 ; C = 0 ; A = 1

    da cui otteniamo abbastanza facilmente che i tre parametri valgono rispettivamente A = 1, B = -1, C = 0.

    Possiamo quindi scrivere che

    ∫_(1)^(M)(1)/(x(1+x^2))dx = ∫_(1)^(M)((1)/(x)-(x)/(1+x^2))dx = ∫_(1)^(M)(1)/(x)dx-∫_(1)^(M)(x)/(1+x^2)dx

    Il primo è un integrale immediato; il secondo è anch'esso un integrale immediato, a patto di moltiplicare e dividere per 2:

    = [ln(|x|)]_(1)^(M)-[ln(|1+x^2|)]_(1)^(M) = (ln(|M|)-ln(1))-(1)/(2)(ln(|M^2+1|)-ln(2)) = ln(|M|)-(1)/(2)ln(|1+M^2|)+(ln(2))/(2) =

    che grazie alle proprietà dei logaritmi si riscrive come

    = ln(|M|)-ln(√(1+M^2))+ln(√(2)) = ln((M)/(√(1+M^2)))+ln(√(2))

    Abbiamo finalmente gli elementi per ricostruire l'integrale I_M

    I_(M) = [-M^(-1)arctan(M)-(-1·(π)/(4))]+∫_(1)^(M)(1)/(x(1+x^2))dx = [-M^(-1)arctan(M)+(π)/(4)]+ln((|M|)/(√(1+M^2)))+ln(√(2))

    Facciamo tendere M → +∞ e vediamo come si comportano i termini

    - il termine M^(-1) → 0;

    - il termine arctan(M) → (π)/(2);

    - il termine ln((|M|)/(√(1+M^2))) → 0,

    perché l'argomento del logaritmo tende a 1 e lo si può dimostrare osservando che all'infinito sussiste la stima asintotica

    √(1+M^2) ~ _(M → +∞)√(M^2) = |M| ⇒ lim_(M → +∞)(|M|)/(√(M^2+1)) = 1

    In definitiva possiamo concludere che

    ∫_(1)^(+∞)(arctan(x))/(x^2)dx = lim_(M → +∞)I_(M) = ln(√(2))+(π)/(4)

    e poiché il limite esiste ed è finito, l'integrale improprio converge e il suo valore coincide con quello del limite appena calcolato.

    Risposta di Ifrit
 
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