Determinare le soluzioni di un sistema 3x5

Quale metodo conviene usare per trovare le soluzioni di un sistema di 3 equazioni in 5 incognite? Solitamente uso il metodo di sostituzione, ma in questo caso non mi sembra la scelta migliore.

Calcolare le soluzioni del sistema 3x5

-x_1+2x_2-2x_3+x_4 = 1 ; 2x_1-4x_2+4x_3-2x_4 = -2 ; x_1-2x_2+2x_3-x_4+x_5 = 0

scegliendo un qualsiasi metodo di risoluzione.

Domanda di namis
Soluzione

Se il numero di incognite o il numero di equazioni di un sistema è maggiore di 3, tra i metodi di risoluzione dei sistemi lineari, quello da preferire è il metodo di Gauss.

Il sistema

-x_1+2x_2-2x_3+x_4 = 1 ; 2x_1-4x_2+4x_3-2x_4 = -2 ; x_1-2x_2+2x_3-x_4+x_5 = 0

è formato da 3 equazioni che dipendono da 5 incognite, dunque risolviamolo col metodo di eliminazione gaussiana.

Scriviamo la matrice completa associata al sistema

(A|b) = (-1 2 -2 1 0 ; 2 -4 4 -2 0 ; 1 -2 2 -1 1 | 1 ;-2 ; 0)

e riduciamola in una matrice a gradini.

Sostituiamo la seconda riga con la somma tra il doppio della prima e la seconda

 R_2 → 2R_1+R_2 = 2 [-1 2 -2 1 0 | 1 ]+[2 -4 4 -2 0 | -2 ] = [-2 4 -4 2 0 | 2 ]+[2 -4 4 -2 0 | -2 ] = [0 0 0 0 0 | 0 ]

Rimpiazziamo la terza riga con la somma tra la prima e la terza

 R_3 → R_1+R_3 = [-1 2 -2 1 0 | 1 ]+[1 -2 2 -1 1 | 0 ] = [0 0 0 0 1 | 1 ]

La matrice risultante è

(A|b)'= (-1 2 -2 1 0 ; 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 1 | 1 ; 0 ; 1)

Per ultimare la riduzione basta scambiare la seconda riga di (A|b)' con la terza

(A|b)''= (-1 2 -2 1 0 ; 0 0 0 0 1 ; 0 0 0 0 0 | 1 ; 1 ; 0)

La matrice ridotta ha r = 2 pivot, che corrispondono a x_1 e x_5.

Il numero totale di incognite è n = 5, e quindi il sistema ammette ∞^(n-r) = ∞^(5-2) = ∞^3 soluzioni.

Per calcolarle componiamo il sistema che ha (A|b)'' come matrice associata

-x_1+2x_2-2x_3+x_4 = 1 ; x_5 = 1

Assegniamo a x_2, x_3, x_4 il ruolo di parametro libero

-x_1+2x_2-2x_3+x_4 = 1 ; x_2 = t ; x_3 = u ; x_4 = v ; x_5 = 1 con t,u,v ∈ R

e calcoliamo il valore di x_1 dalla prima equazione

x_1 = 2x_2-2x_3+x_4-1 = 2t-2u+v-1 ; x_2 = t ; x_3 = u ; x_4 = v ; x_5 = 1

Abbiamo finito! Le ∞^3 soluzioni del sistema sono

(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = (2t-2u+v-1, t, u, v, 1) con t,u,v ∈ R

Risposta di: Giuseppe Carichino (Galois)
Ultima modifica:

Domande della categoria Università - Algebra Lineare
Esercizi simili e domande correlate