Soluzioni
  • Se il numero di incognite o il numero di equazioni di un sistema è maggiore di 3, tra i metodi di risoluzione dei sistemi lineari, quello da preferire è il metodo di Gauss.

    Il sistema

    \begin{cases}-x_1+2x_2-2x_3+x_4=1 \\ 2x_1-4x_2+4x_3-2x_4=-2 \\ x_1-2x_2+2x_3-x_4+x_5=0\end{cases}

    è formato da 3 equazioni che dipendono da 5 incognite, dunque risolviamolo col metodo di eliminazione gaussiana.

    Scriviamo la matrice completa associata al sistema

    (A|\mathbf{b}) = \left(\begin{matrix}-1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\ 2 & -4 & 4 & -2 & 0 \\ 1 & -2 & 2 & -1 & 1 \end{matrix} \right|\left \begin{matrix}1 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right)

    e riduciamola in una matrice a gradini.

    Sostituiamo la seconda riga con la somma tra il doppio della prima e la seconda

    \\ R_2 \ \to \ 2R_1+R_2 = \\ \\ = 2 \begin{pmatrix}-1 & 2 & -2 & 1 & 0 & | & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & -4 & 4 & -2 & 0 & | & -2 \end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}-2 & 4 & -4 & 2 & 0 & | & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & -4 & 4 & -2 & 0 & | & -2 \end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}

    Rimpiazziamo la terza riga con la somma tra la prima e la terza

    \\ R_3 \ \to \ R_1+R_3 = \\ \\ = \begin{pmatrix}-1 & 2 & -2 & 1 & 0 & | & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 & | & 0 \end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}

    La matrice risultante è

    (A|\mathbf{b})' = \left(\begin{matrix}-1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right|\left \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right)

    Per ultimare la riduzione basta scambiare la seconda riga di (A|\mathbf{b})' con la terza

    (A|\mathbf{b})'' = \left(\begin{matrix}-1 & 2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right|\left \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right)

    La matrice ridotta ha r=2 pivot, che corrispondono a x_1 e x_5.

    Il numero totale di incognite è n=5, e quindi il sistema ammette \infty^{n-r} = \infty^{5-2}=\infty^3 soluzioni.

    Per calcolarle componiamo il sistema che ha (A|\mathbf{b})'' come matrice associata

    \begin{cases}-x_1+2x_2-2x_3+x_4=1 \\ x_5=1\end{cases}

    Assegniamo a x_2, x_3, x_4 il ruolo di parametro libero

    \begin{cases}-x_1+2x_2-2x_3+x_4=1 \\ x_2=t \\ x_3=u \\ x_4 = v \\ x_5=1\end{cases} \ \ \mbox{ con } t,u,v \in \mathbb{R}

    e calcoliamo il valore di x_1 dalla prima equazione

    \begin{cases}x_1=2x_2-2x_3+x_4-1=2t-2u+v-1 \\ x_2=t \\ x_3=u \\ x_4 = v \\ x_5=1\end{cases}

    Abbiamo finito! Le \infty^3 soluzioni del sistema sono

    (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = (2t-2u+v-1, \ t, \ u, \ v, \ 1) \ \ \mbox{ con } t,u,v \in \mathbb{R}

    Risposta di Galois
 
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