Integrale definito fratto con seno e coseno

Ciao Safi, credo che il modo migliore per risolvere questo integrale consista nell'effettuare una sostituzione.

Calcoliamo l'integrale per sostituzione, ponendo

2y=2x+Π   ossia   x=y - Π/2  

Risulta che dx=dy e che i nuovi estremi di integrazione sono [0,Π/2]. Questo cambiamento di variabile ci semplifica molto la vita, infatti l'integranda diventa

[2ycos(y)-2sin(y) ] / (2y)^2

Quel quadrato a denominatore dovrebbe metterci in allerta; se infatti abbiamo presente la regola di derivazione del rapporto di funzioni, si vede subito che questa è la derivata di

sin(y)/(2y)

La primitiva va valutata tra 0 e pigreco/2, e a questo punto ci accorgiamo che l'integrale improprio va risolto calcolando il limite:

lim _(per ε tendente a zero) [1/Π    - sin(ε)/2ε]=1/Π-1/2.

avendo usato nell'ultimo passaggio il limite notevole del seno.

Namasté - Agente Ω