Soluzioni
  • Ciao Hyperion, arrivo a risponderti...però cortesemente in futuro non usare immagini in sostituzione del testo. :)

    Risposta di Omega
  • Il metodo da seguire è proprio verificare la definizione di sottospazio vettoriale: la definizione tra le altre cose è data in forma generica, quindi si presta molto bene a qualsiasi tipo di esercizio. Sostanzialmente, bisogna prendere due elementi v,w  nel sottoinsieme S e verificare che i conti, le equazioni o la proprietà che definisce l'insieme S è tale da garantire che

    v+w\in S

    ossia che v+w soddisfa ancora le equazioni o proprietà che definiscono S, e che per qualsiasi scalare \alpha\in K del campo su cui è definito il candidato sottospazio risulti

    \alpha v\in S.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Mmm ho provato a vedere gli esercizi risolti ma non riesco a capire come imporre le condizioni. Mi spiego. Prendiamo il primo sottospazio del quesito a:

     

    U_a_1=\{(x,y,z) \in R^3 |2x-y+z=0=3x+4z\}

     

    dovrei prendere 2 vettori generici di R^3 tali che soddisfino l'equazione 2x-y+z=0=3x+4z e vedere se la loro somma soddisfa ancora quell'equazione. Il punto è proprio questo, come prendo quei due vettori e sopratutto come vedo che la loro somma soddisfa ancora l'equazione?

    Risposta di Hyperion
  • Per risolvere un esercizio di questo tipo, con un sottospazio definito mediante equazioni omegenee, prendi due vettori (x_1,y_1,z_1)(x_2,y_2,z_2) tali da appartenere a U_{a_{1}}, quindi consideriamo

    (x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)

    Se proviamo a calcolare

    2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=2x_1+2x_2-y_1-y_2+z_1+z_2=

    riordinando opportunamente gli addendi

    =2x_1-y_1+z_1+2x_2-y_2+z_2=(2x_1-y_1+z_1)+(2x_2-y_2+z_2)=

    Dato che i due vettori li abbiamo presi in U_{a_{1}}, soddisfano entrambi la prima equazione e quindi

    =0+0=0

    Con la seconda equazione ci si comporta in modo analogo, come pure ci si comporta in modo analogo per

    \alpha(x,y,z)

    Il punto è, parlando in generale, che ogni volta che la proprietà, o sistema di equazioni, o qualunque sia la condizione che definisce il sottoinsieme gode della linearità (e qui le equazioni sono omogenee, quindi lineari) allora sappiamo in automatico di avere a che fare con un sottospazio vettoriale.

    La verifica è sempre molto meccanica, ma istruttiva. Ti consiglio di provare con la seconda equazione e di provare la chiusura del sottoinsieme rispetto alla moltiplicazione per uno scalare.

     

    Francamente non so perché non ci ho pensato prima, ma in questa lezione - sottospazi vettoriali - il metodo di verifica è spiegato per filo e per segno nei vari casi possibili. Ci sono anche diversi esempi...;)

     

    Namasté!

    Risposta di Omega
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