Soluzioni
  • Solitamente per risolvere le due equazioni logaritmiche, bisogna ricorrere alle proprietà dei logaritmi: la somma di due logaritmi con la stessa base è uguale al logaritmo del prodotto degli argomenti.

    \log_{a}(A)+\log_{a}(B)=\log_{a}(A B)\ \ \ \mbox{con}\  a>0\ \mbox{e} \ a\ne 1, \ A>0, \ B>0

    Inoltre sussiste la proprietà che assicura che la differenza di due logaritmi con la stessa base è uguale al logaritmo del rapporto degli argomenti: in formule

    \log_{a}(A)-\log_{a}(B)=\log_{a}\left(\frac{A}{B}\right) \ \ \ \mbox{con}\ a>0 \ \mbox{e}\  a\ne 1, \ A>0, \ B>0

    Analizziamo l'equazione

    \mbox{Log}(x)+\mbox{Log}(x+3)=1

    Prima di procedere con i passaggi algebrici, determiniamo l'insieme di esistenza delle soluzioni, il quale è dettato dalle condizioni di esistenza dei due logaritmi: richiederemo che gli argomenti dei logaritmi siano contemporaneamente maggiori di zero.

    Costituiamo il sistema di disequazioni

    \begin{cases}x>0 \\ \\ x+3>0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x>0\\ \\ x>-3\end{cases}

    che una volta risolto, fornisce il vincolo x>0, pertanto l'equazione è ben posta se sussiste la seguente condizione:

    C.E.:\ x>0

    A questo punto applichiamo la regola sulla somma di logaritmi mediante la quale l'equazione diventa

    \mbox{Log}[x(x+3)]=1

    Esprimiamo 1 come \mbox{Log}(10)

    \mbox{Log}[x(x+3)]=\mbox{Log}(10)

    Non ci resta che uguagliare l'argomento del logaritmo di sinistra con quello di destra ottenendo così l'equazione di secondo grado

    x(x+3)=10 \ \ \ \to \ \ \ x^2+3x-10=0

    Posto

    a=1 \ \ \ , \ \ \ b=3 \ \ \ , \ \ \ c=-10

    le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla seguente relazione

    \\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{9+40}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{-3\pm 7}{2}=\begin{cases}-\frac{-3-7}{2}=-5=x_1\\ \\ \frac{-3+7}{2}=2=x_2\end{cases}

    È necessario sottolineare che i valori ottenuti sono soluzioni dell'equazione di secondo grado, non necessariamente quelle dell'equazione logaritmica: solo x_2=2 è accettabile perché è l'unica che soddisfa il vincolo x>0.

    Concludiamo quindi che l'equazione

    \mbox{Log}(x)+\mbox{Log}(x+3)=1

    ammette come unica soluzione x=2.

     

    Consideriamo l'equazione

    \mbox{Log}(x)+\mbox{Log}(x+2)=\mbox{Log}(9-2x)

    e imponiamo sin da subito le condizioni di esistenza richiedendo che gli argomenti dei vari logaritmi siano maggiori di zero: imposteremo il sistema di disequazioni

    \begin{cases}x>0\\ \\ x+2>0\\ \\ 9-2x>0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x>0\\ \\ x>-2 \\ \\ x<\frac{9}{2}\end{cases}

    da cui segue che l'equazione è ben posta se l'incognita soddisfa il vincolo

    C.E.:\ 0<x<\frac{9}{2}

    di conseguenza tutti i valori che non rispettano la doppia disequazione dovranno essere scartati.

    Per risolvere l'equazione, applichiamo le proprietà dei logaritmi, in particolare quella che consente di esprimere la somma di due logaritmi come il logaritmo del prodotto dei loro argomenti, ricavando così:

    \mbox{Log}[x(x+2)]=\mbox{Log}(9-2x)

    Non ci resta che uguagliare gli argomenti e scrivere l'equazione di secondo grado

    x(x+2)=9-2x \ \ \ \to \ \ \ x^2+2x-9+2x=0

    ossia

    x^2+4x-9=0

    Posti

    a=1 \ \ \ , \ \ \ b=4 \ \ \ ,\ \ \ c=-9

    calcoliamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado completa con la formula

    \\ x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}=-2\pm\sqrt{4+9}= \\ \\ \\ =-2\pm\sqrt{13}=\begin{cases}-2-\sqrt{13}=x_1 \\ \\ -2+\sqrt{13}=x_2\end{cases}

    È fondamentale osservare che i due valori

    x_1=-2-\sqrt{13}\ \ \ , \ \ \ x_2=-2+\sqrt{13}

    sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado, ma solo x_2=-2+\sqrt{13} è anche soluzione dell'equazione logaritmica perché è l'unica che soddisfa la condizione di esistenza

    C.E.:\ 0<x<\frac{9}{2}

    conseguentemente

    \mbox{Log}(x)+\mbox{Log}(x+2)=\mbox{Log}(9-2x)

    ha come unica soluzione x=\sqrt{13}-2.

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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