Linee di livello di funzioni di due variabili

Ciao Kikkax, le curve (o linee) di livello di una funzione di due variabili f(x,y) sono le curve che ottieni mettendo a sistema l'espressione della funzione z=f(x,y) con una generica quota z=k, dove k è un valore arbitrario. Tieni conto che z=k è il piano orizzontale di quota k.

1) z=4 è il piano di quota 4, quindi qui non ha senso parlare di curva di livello

2) 1-x=0 è il piano di equazione x=1, e una curva di livello z=k qui è data dall'intersezione tra i due piani x=1 e z=k.

3) z=y-3 a sistema con z=k ti dà y=3+k;

4)z=x+y-2 a sistema con z=k ti dà x+y-2=k;

5)z=x^2+y^2-1 a sistema con z=k ti dà x^2+y^2-1-k=0

6)z=x^2+y^2+1 a sistema con z=k ti dà x^2+y^2+1-k=0

7)z=x^2+y^2-x a sistema con z=k ti dà x^2+y^2-x-k=0

8)z=x^2+y^2+4y a sistema con z=k ti dà x^2+y^2+4y-k=0

Dato che k è a nostra scelta, si tratta ora di capire che figure geometriche siano queste, o meglio che luoghi geometrici siano. Fissiamo k:

3) è una retta

4) è una retta

5) se k è maggiore di -1 è una circonferenza, per k minore di -1 il piano non interseca il grafico 3D della funzione

6) se k è maggiore di 1 allora è una circonferenza, se k è minore di 1 allora il piano z=k non intersecail grafico del

7) Riscrivendo l'equazione della linea di livello come (x-1/2)^2 +y^2=k+1/4 si vede che è una circonferenza e che se k è maggiore di -1/4 allora il piano z=k interseca il grafico, altrimenti non interseca il grafico

8)qui riscrivi l'equazione della generica curva di livello come x^2+(y+2)^2=k-4, e se k è maggiore di 4 allora la linea di livello è una circonferenza, altrimenti il piano non interseca il grafico.

Namasté - Agente Ω