Soluzioni
  • Ciao Povi, ti rispondo immediatamente ;) !

    Risposta di frank094
  • Ciao Povi,

    la differenza tra gli sviluppi in serie Taylor di questi due termini è proprio quella che fai notare .. ma vediamolo più nello specifico ( nel caso in cui sia centrato in x0 = 0 ). Si ha che

     

     \sin{(x)} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...

     

    La seconda funzione da te proposta si può ottenere facilmente sostituendo alla x, nel precedente sviluppo, la x al quadrato:

     

     \sin{(x^2)} = x^2 - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!} - \frac{x^{14}}{7!} + ...

     

    Per quanto riguarda la prima funzione non si può parlare in generale di fare il prodotto tra sin(x) e sin(x) in quanto l'approssimazione in alcuni casi può non risultare esatta ( ad esempio se lo fai tra i primi due termini non ottieni nulla dello sviluppo in serie di sin2 (x) ).
    E' conveniente trattarla come una funzione a sé, derivarla il numero di volte necessario e scrivere lo sviluppo.
    O, in alternativa, svolgere il prodotto con un numero sufficiente di termini da assicurare la precisione ai primi dello sviluppo ( ad esempio se prendi i primi quattro di sin(x) e svolgi il prodotto ottieni i primi quattro di sin2 (x) )

     

    \sin^2{(x)} = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} + ...

     

    Se qualcosa non è chiaro chiedi pure ;) !

    Risposta di frank094
  • Ok mi è chiaro, ma mi chiedo se queste considerazioni le posso fare anche con seno e coseno iperbolico,cioè intendo sempre la differenza tra SenhxSenh2x

    Risposta di povi
  • Beh, in generale sono considerazioni valide.

    Perché alla fin fine si tratta semplicemente di moltiplicare due funzioni approssimate ( nel primo caso ) e di sostituire x2 ad x ( nel secondo caso ). Infatti

     

    \sinh{(x)} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + ...

     

    Da cui risulta immediatamente che

     

    \sinh^2{(x)} = x^2 + \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} + ...

     

    Come ti dicevo già prima, bisogna utilizzare un numero di termini tali da non rendere il risultato approssimativo.
    Per quanto riguarda la sostituzione della x al quadrato si ha ovviamente

     

    \sinh{(x^2)} = x^2 + \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!} + ...

    Risposta di frank094
  • Ok ho capito. L'unica cosa è nel calcolo di sinh^2{(x)} = x^2 + frac{x^4}{3} + frac{2x^6}{45} + ... .

    Io considero sinh{(x)} = x + frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} + ...(consideriamo solo fino a x alla terza diviso 3!)

    faccio il x al quadrato,il doppio prodotto, ma l'ultimo quadrato mi viene x alla terza diviso sei e non 2/45. 

    Risposta di povi
  • Per questo ti avevo detto di diffidare dall'utilizzare questa tecnica per il calcolo del polinomio di Taylor del prodotto di una funzione.

    Il problema è che non puoi sapere a priori quanti termini sono necessari per ottenere il polinomio con precisione fino ad un certo termine .. ne hai appena avuta la prova.
    O almeno il numero di termini necessari puoi scoprirlo ( ma l'errore è sempre dietro l'angolo ) analizzando il prodotto che stai per svolgere: ti accorgi se l'aggiunta di un altro termine andrà a modificare quelli precedenti o meno ..

    Risposta di frank094
  • Quindi l'unica soluzione è quella con le derivate?

    Risposta di povi
  • Se ti servono solo i primi termini ne prendi un numero sufficientemente grande dallo sviluppo delle funzione e sviluppi il quadrato: quelli che ti servono tornano.

    Il problema è che il metodo, quando devi sviluppare diversi termini, può risultare meno efficace e lo sviluppo di quadrati di polinomi con un gran numero di termini può diventare difficoltoso e spesso più laborioso delle derivate stesse.

    Insomma tutto dipende dai casi, ma una soluzione sicura è data dalle derivate; una meno precisa dallo sviluppo del quadrato del polinomio.

    Risposta di frank094
  • Grazie mille ;)

     

    Risposta di povi
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