Soluzioni
  • Per calcolare lo sviluppo di Taylor centrato in x_0=0 di ordine 4 delle funzioni

    f(x)=\sin^2(x) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ g(x)=\sin(x^2)

    possiamo tranquillamente procedere con la formula di Taylor

    \\ h(x)=h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)+\frac{h''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\\ \\ +\frac{h'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\frac{h^{(4)}(x_0)}{4!}(x-x_0)^{4}+o((x-x_0)^4)

    dove:

    h(x_0), \ h'(x_0), \ h''(x_0), \ h'''(x_0)\ \mbox{e} \ h^{(4)}(x_0)

    sono rispettivamente la funzione, la sua derivata prima, la derivata seconda, la derivata terza e la derivata quarta, valutate nel centro dello sviluppo;

    n! è il fattoriale del numero naturale n;

    o((x-x_0)^4) è l'o-piccolo della potenza quarta di x-x_0.

    Questa strategia, però, ha un solo difetto: dobbiamo calcolare le derivate delle funzioni fino all'ordine richiesto e nel caso in cui l'ordine fosse grande, oppure l'espressione analitica della funzione fosse elaborata, la mole di conti potrebbe aumentare a dismisura.

    L'alternativa a questo metodo prevede di usare lo sviluppo notevole del seno e lavorare con le opportune composizioni.

    Per prima cosa, scriviamo lo sviluppo del seno di ordine 4

    \sin(t)=t-\frac{t^3}{6}+o(t^4)

    Si noti che l'ordine di sviluppo del seno è proprio 4 e lo si evince dall'esponente della potenza che figura nell'o-piccolo.

    Per ricavare lo sviluppo di \sin^2(x) è sufficiente rimpiazzare t con x ed elevare al quadrato lo sviluppo precedente

    \sin^2(x)=\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)\right)^2=

    Utilizzando la regola del quadrato di trinomio

     =x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+2xo(x^4)-\frac{x^3}{3}o(x^4)+[o(x^4)]^2=

    e utilizzando le proprietà degli o-piccolo otteniamo

    =x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+o(x^5)-o(x^7)+o(x^{8})=

    Attenzione: la somma tra gli o-piccolo o(x^5)+o(x^7)+o(x^{8}) coincide con l'o-piccolo in cui figura la potenza con l'esponente più piccolo, vale a dire o(x^5), pertanto:

    =x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+o(x^5)=

    Poiché per x\to 0, \ \frac{x^6}{36} è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x^5, esso viene inglobato in o(x^5)

    =x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^5)

    A conti fatti, quello che abbiamo ottenuto è lo sviluppo di Taylor di ordine 5: lo si evince dall'esponente della potenza di x nell'o-piccolo). Poco male, possiamo comunque scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 4, rimpiazzando l'espressione del resto con quello di cui abbiamo bisogno

    \sin^2(x)=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)

    In definitiva, il polinomio di Taylor centrato in x_0=0 associato a f(x)=\sin^2(x) è:

    P_{f,4}(x)=x^2-\frac{x^4}{3}

    Per calcolare lo sviluppo di g(x)=\sin(x^2) è sufficiente rimpiazzare t con x^2 nello sviluppo notevole del seno e scrivere la seguente uguaglianza

    \sin(x^2)=x^2-\frac{(x^2)^3}{6}+o((x^2)^4)=

    Una volta applicate le proprietà delle potenze e quelle degli o-piccolo, la precedente espressione diventa

    =x^2-\frac{x^{6}}{6}+o(x^8)=

    Attenzione! Quello ottenuto è lo sviluppo di \sin(x^2) arrestato all'ottavo ordine: per scrivere quello di ordine 4, è sufficiente trascurare tutte le potenze di x con esponente maggiore di 4 e riportare infine il resto

    =x^2+o(x^4)

    pertanto il polinomio di Taylor di ordine 4 associato alla funzione g(x)=\sin(x^2) è

    P_{g,4}(x)=x^2

    Si noti che, a conti fatti, il polinomio ottenuto non è di grado 4: poco importa, è comunque il polinomio associato allo sviluppo di ordine 4 e questo basta.

    Abbiamo terminato.

    Risposta di frank094
 
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