Esercizio su retta, corda e parabola

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Buongiorno a tutti, l'esercizio è il seguente e riguarda una retta che stacca una corda su una parabola:

 

data la parabola x=2y2-8y+9 determinare l'equazione della retta parallela alla retta 2y=x e che intercetta sulla parabola una corda di lunghezza 3√5.

 

Grazie a tutti.

Domanda di toguttina

 
Soluzioni

  • Ciao Toguttina, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Dato che la corda viene intercettata sulla parabola (click per le formule sulla parabola) da una retta parallela a

    y=\frac{1}{2}x

    ciò significa che la nostra retta sarà della forma

    y=mx

    per la condizione di parallelismo: stesso coefficiente angolare. Ora si tratta solamente di mettere a sistema le due equazioni, parabola e retta in forma generica

    \begin{cases}y=\frac{1}{2}x+q\\ x=2y^2-8y+9\end{cases}

    e imporre che i due punti trovati distino tra loro esattamente 3\sqrt{5}.

    Si trova

    x=2(\frac{1}{2}x+q)^2-8(\frac{1}{2}x+q)+9

    Questa equazione di secondo grado ammette due soluzioni dipendenti dall'ordinata all'origine q, siano esse x_1,x_2.

    Sostituendole nell'equazione della generica retta, avremo due punti

    (x_1,y_1),\ \ (x_2,y_2)

    A questo punto non resta che calcolare la distanza con la solita formula della distanza tra due punti

    dist(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

    e imporre e risolvere l'equazione

    dist(P_1,P_2)=3\sqrt{5}

    determinando così q.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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