Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di esprimere il numero complesso in forma cartesiana, ossia nella forma

    z=a+i b

    avendo a disposizione il modulo e argomento del numero complesso. Per definizione di modulo

    |z|=\sqrt{a^2+b^2}

    Poiché sappiamo che |z|=\sqrt{2-\sqrt{2}} allora

    \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2-\sqrt{2}}

    Eleviamo al quadrato membro a membro così da ottenere

    a^2+b^2=2-\sqrt{2}

    Assieme a questa condizione abbiamo che l'argomento del numero

    \mbox{arg}(z)=\frac{19}{8}\pi

    che possiamo esprimere come

    \frac{19}{8}\pi=\frac{16+3}{8}\pi=\frac{16}{8}\pi+\frac{3}{8}\pi=\frac{3}{8}\pi+2\pi

    Da questo comprendiamo che il numero complesso giace nel primo quadrante del piano di Argand Gauss, pertanto sia la parte reale che la parte immaginaria sono entrambi positivi a>0, b>0. Proprio per questo motivo vige la relazione

    \mbox{arg}(z)=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)\implies \arctan\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{3}{8}\pi+2\pi

    Per definizione di arcotangente si ha che

    \arctan\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{3}{8}\pi+2\pi\iff \frac{b}{a}=\tan\left(\frac{3}{8}\pi+2\pi\right)=\tan\left(\frac{3}{8}\pi\right)

    Facciamo affidamento alla tavola dei valori notevoli delle funzioni goniometriche

    \tan\left(\frac{3}{8}\pi\right)=1+\sqrt{2}

    Pertanto la precedente relazione diventa

    \frac{b}{a}=(1+\sqrt{2})\implies b=(1+\sqrt{2})a

    La parte reale e la parte immaginaria del numero complesso devono soddisfare le equazioni

    \begin{cases}a^2+b^2=2-\sqrt{2}\\ b=(1+\sqrt{2})a\end{cases}

    Risolviamo il sistema utilizzando il metodo di sostituzione

    \begin{cases}a^2+(1+\sqrt{2})^2a^2=2-\sqrt{2}\\ b=(1+\sqrt{2})a\end{cases}

    Effettuiamo un raccoglimento totale nella prima equazione

    \begin{cases}(1+(1+\sqrt{2})^2)a^2=2-\sqrt{2}\\ b=(1+\sqrt{2})a\end{cases}

    Dalla prima equazione otteniamo

    a^2=\frac{2-\sqrt{2}}{1+1+2+2\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2(2+\sqrt{2})}

    Eseguiamo una razionalizzazione, moltiplicando e dividendo per 2-\sqrt{2}

    \\ a^2=\frac{(2-\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{2 (2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}\\ \\ \\ a^2=\frac{(2-\sqrt{2})^2}{2 (4-2)}\\ \\ \\ a^2=\frac{4+2-4\sqrt{2}}{4}\\ \\ \\ a^2=\frac{6-4\sqrt{2}}{4}

    Risolviamo l'equazione di secondo grado pura così da determinare il valore di a

    a=\pm\frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2}

    Ricordiamo che siamo nel primo quadrante, quindi dobbiamo prendere la soluzione positiva

    a=\frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2}

    A questo punto l'unico valore di cui abbiamo bisogno è b che possiamo ottenere dalla relazione

    b=(1+\sqrt{2})\frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2}

    Pertanto il numero complesso espresso in forma algebrica è

    z=\frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2}+i\left((1+\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2}\right)

    Volendo possiamo semplificare i radicali doppi, così da semplificare ulteriormente l'espressione

     

    Metodo alternativo

    Osserviamo che poiché conosciamo sia il modulo che l'argomento, possiamo utilizzare la forma trigonometrica del numero complesso

    \\ z=|z|\left(\cos(\mbox{arg}(z))+i\sin(\mbox{arg}(z))\right)=\\ \\=\sqrt{2-\sqrt{2}}\left(\cos\left(\frac{19}{8}\pi\right)+i\sin\left(\frac{19}{8}\pi\right)\right)

    Abbiamo già visto che \frac{19}{8}\pi=\frac{3}{8}\pi+2\pi pertanto

    \sin\left(\frac{19}{8}\pi\right)=\sin\left(\frac{3}{8}\pi+2\pi\right)

    Poiché il seno è una funzione periodica  di periodo T=2\pi allora

    \sin\left(\frac{3}{8}\pi+2\pi\right)=\sin\left(\frac{3}{8}\pi\right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

    Per lo stesso motivo

    \cos\left(\frac{3}{8}\pi+2\pi\right)=\cos\left(\frac{3}{8}\pi\right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

    conseguentemente

    z=\sqrt{2-\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}+i\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)

    Moltiplichiamo così da ottenere

    z=\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)+i\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)

    Risposta di Ifrit
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