Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di esprimere il numero complesso in forma cartesiana, ossia nella forma

    z = a+i b

    avendo a disposizione il modulo e argomento del numero complesso. Per definizione di modulo

    |z| = √(a^2+b^2)

    Poiché sappiamo che |z| = √(2-√(2)) allora

    √(a^2+b^2) = √(2-√(2))

    Eleviamo al quadrato membro a membro così da ottenere

    a^2+b^2 = 2-√(2)

    Assieme a questa condizione abbiamo che l'argomento del numero

    arg(z) = (19)/(8)π

    che possiamo esprimere come

    (19)/(8)π = (16+3)/(8)π = (16)/(8)π+(3)/(8)π = (3)/(8)π+2π

    Da questo comprendiamo che il numero complesso giace nel primo quadrante del piano di Argand Gauss, pertanto sia la parte reale che la parte immaginaria sono entrambi positivi a > 0, b > 0. Proprio per questo motivo vige la relazione

    arg(z) = arctan((b)/(a)) ⇒ arctan((b)/(a)) = (3)/(8)π+2π

    Per definizione di arcotangente si ha che

    arctan((b)/(a)) = (3)/(8)π+2π ⇔ (b)/(a) = tan((3)/(8)π+2π) = tan((3)/(8)π)

    Facciamo affidamento alla tavola dei valori notevoli delle funzioni goniometriche

    tan((3)/(8)π) = 1+√(2)

    Pertanto la precedente relazione diventa

    (b)/(a) = (1+√(2)) ⇒ b = (1+√(2))a

    La parte reale e la parte immaginaria del numero complesso devono soddisfare le equazioni

    a^2+b^2 = 2-√(2) ; b = (1+√(2))a

    Risolviamo il sistema utilizzando il metodo di sostituzione

    a^2+(1+√(2))^2a^2 = 2-√(2) ; b = (1+√(2))a

    Effettuiamo un raccoglimento totale nella prima equazione

    (1+(1+√(2))^2)a^2 = 2-√(2) ; b = (1+√(2))a

    Dalla prima equazione otteniamo

    a^2 = (2-√(2))/(1+1+2+2√(2)) = (2-√(2))/(2(2+√(2)))

    Eseguiamo una razionalizzazione, moltiplicando e dividendo per 2-√(2)

     a^2 = ((2-√(2))(2-√(2)))/(2 (2+√(2))(2-√(2))) ; a^2 = ((2-√(2))^2)/(2 (4-2)) ; a^2 = (4+2-4√(2))/(4) ; a^2 = (6-4√(2))/(4)

    Risolviamo l'equazione di secondo grado pura così da determinare il valore di a

    a = ±(√(6-4√(2)))/(2)

    Ricordiamo che siamo nel primo quadrante, quindi dobbiamo prendere la soluzione positiva

    a = (√(6-4√(2)))/(2)

    A questo punto l'unico valore di cui abbiamo bisogno è b che possiamo ottenere dalla relazione

    b = (1+√(2))(√(6-4√(2)))/(2)

    Pertanto il numero complesso espresso in forma algebrica è

    z = (√(6-4√(2)))/(2)+i((1+√(2))·(√(6-4√(2)))/(2))

    Volendo possiamo semplificare i radicali doppi, così da semplificare ulteriormente l'espressione

     

    Metodo alternativo

    Osserviamo che poiché conosciamo sia il modulo che l'argomento, possiamo utilizzare la forma trigonometrica del numero complesso

     z = |z|(cos(arg(z))+isin(arg(z))) = √(2-√(2))(cos((19)/(8)π)+isin((19)/(8)π))

    Abbiamo già visto che (19)/(8)π = (3)/(8)π+2π pertanto

    sin((19)/(8)π) = sin((3)/(8)π+2π)

    Poiché il seno è una funzione periodica  di periodo T = 2π allora

    sin((3)/(8)π+2π) = sin((3)/(8)π) = (√(2+√(2)))/(2)

    Per lo stesso motivo

    cos((3)/(8)π+2π) = cos((3)/(8)π) = (√(2-√(2)))/(2)

    conseguentemente

    z = √(2-√(2))((√(2-√(2)))/(2)+i(√(2+√(2)))/(2))

    Moltiplichiamo così da ottenere

    z = ((√(2)-1)/(√(2)))+i(1)/(√(2))((√(2)-1)/(√(2)))

    Risposta di Ifrit
 
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