Trovare numero complesso da modulo e argomento

Come si trova la forma algebrica di un numero complesso avendo modulo e argomento? Ad esempio:

$|z|=\sqrt{2-\sqrt{2}},\ \mbox{arg}(z)=\frac{19}{8}\pi$

In Superiori - Analisi - Domanda di safi

Soluzioni

L'esercizio ci chiede di esprimere il numero complesso in forma cartesiana, ossia nella forma

avendo a disposizione il modulo e argomento del numero complesso. Per definizione di modulo

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Poiché sappiamo che $|z|=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ allora

$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2-\sqrt{2}}$

Eleviamo al quadrato membro a membro così da ottenere

$a^2+b^2=2-\sqrt{2}$

Assieme a questa condizione abbiamo che l'argomento del numero

$\mbox{arg}(z)=\frac{19}{8}\pi$

che possiamo esprimere come

$\frac{19}{8}\pi=\frac{16+3}{8}\pi=\frac{16}{8}\pi+\frac{3}{8}\pi=\frac{3}{8}\pi+2\pi$

Da questo comprendiamo che il numero complesso giace nel primo quadrante del piano di Argand Gauss, pertanto sia la parte reale che la parte immaginaria sono entrambi positivi . Proprio per questo motivo vige la relazione

$\mbox{arg}(z)=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)\implies \arctan\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{3}{8}\pi+2\pi$

Per definizione di arcotangente si ha che

$\arctan\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{3}{8}\pi+2\pi\iff \frac{b}{a}=\tan\left(\frac{3}{8}\pi+2\pi\right)=\tan\left(\frac{3}{8}\pi\right)$

Facciamo affidamento alla tavola dei valori notevoli delle funzioni goniometriche

$\tan\left(\frac{3}{8}\pi\right)=1+\sqrt{2}$

Pertanto la precedente relazione diventa

$\frac{b}{a}=(1+\sqrt{2})\implies b=(1+\sqrt{2})a$

La parte reale e la parte immaginaria del numero complesso devono soddisfare le equazioni

$\begin{cases}a^2+b^2=2-\sqrt{2}\\ b=(1+\sqrt{2})a\end{cases}$

Risolviamo il sistema utilizzando il metodo di sostituzione

$\begin{cases}a^2+(1+\sqrt{2})^2a^2=2-\sqrt{2}\\ b=(1+\sqrt{2})a\end{cases}$

Effettuiamo un raccoglimento totale nella prima equazione

$\begin{cases}(1+(1+\sqrt{2})^2)a^2=2-\sqrt{2}\\ b=(1+\sqrt{2})a\end{cases}$

Dalla prima equazione otteniamo

$a^2=\frac{2-\sqrt{2}}{1+1+2+2\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2(2+\sqrt{2})}$

Eseguiamo una razionalizzazione, moltiplicando e dividendo per $2-\sqrt{2}$

$\\ a^2=\frac{(2-\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{2 (2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}\\ \\ \\ a^2=\frac{(2-\sqrt{2})^2}{2 (4-2)}\\ \\ \\ a^2=\frac{4+2-4\sqrt{2}}{4}\\ \\ \\ a^2=\frac{6-4\sqrt{2}}{4}$

Risolviamo l'equazione di secondo grado pura così da determinare il valore di a

$a=\pm\frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2}$

Ricordiamo che siamo nel primo quadrante, quindi dobbiamo prendere la soluzione positiva

$a=\frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2}$

A questo punto l'unico valore di cui abbiamo bisogno è b che possiamo ottenere dalla relazione

$b=(1+\sqrt{2})\frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2}$

Pertanto il numero complesso espresso in forma algebrica è

$z=\frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2}+i\left((1+\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2}\right)$

Volendo possiamo semplificare i radicali doppi, così da semplificare ulteriormente l'espressione

Metodo alternativo

Osserviamo che poiché conosciamo sia il modulo che l'argomento, possiamo utilizzare la forma trigonometrica del numero complesso

$\\ z=|z|\left(\cos(\mbox{arg}(z))+i\sin(\mbox{arg}(z))\right)=\\ \\=\sqrt{2-\sqrt{2}}\left(\cos\left(\frac{19}{8}\pi\right)+i\sin\left(\frac{19}{8}\pi\right)\right)$

Abbiamo già visto che $\frac{19}{8}\pi=\frac{3}{8}\pi+2\pi$ pertanto

$\sin\left(\frac{19}{8}\pi\right)=\sin\left(\frac{3}{8}\pi+2\pi\right)$

Poiché il seno è una funzione periodica di periodo $T=2\pi$ allora

$\sin\left(\frac{3}{8}\pi+2\pi\right)=\sin\left(\frac{3}{8}\pi\right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

Per lo stesso motivo

$\cos\left(\frac{3}{8}\pi+2\pi\right)=\cos\left(\frac{3}{8}\pi\right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

conseguentemente

$z=\sqrt{2-\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}+i\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)$

Moltiplichiamo così da ottenere

$z=\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)+i\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)$

Risposta di Ifrit