L'esercizio ci chiede di esprimere il numero complesso in forma cartesiana, ossia nella forma
avendo a disposizione il modulo e argomento del numero complesso. Per definizione di modulo
Poiché sappiamo che
allora
Eleviamo al quadrato membro a membro così da ottenere
Assieme a questa condizione abbiamo che l'argomento del numero
che possiamo esprimere come
Da questo comprendiamo che il numero complesso giace nel primo quadrante del piano di Argand Gauss, pertanto sia la parte reale che la parte immaginaria sono entrambi positivi
. Proprio per questo motivo vige la relazione
Per definizione di arcotangente si ha che
Facciamo affidamento alla tavola dei valori notevoli delle funzioni goniometriche
Pertanto la precedente relazione diventa
La parte reale e la parte immaginaria del numero complesso devono soddisfare le equazioni
Risolviamo il sistema utilizzando il metodo di sostituzione
Effettuiamo un raccoglimento totale nella prima equazione
Dalla prima equazione otteniamo
Eseguiamo una razionalizzazione, moltiplicando e dividendo per
Risolviamo l'equazione di secondo grado pura così da determinare il valore di a
Ricordiamo che siamo nel primo quadrante, quindi dobbiamo prendere la soluzione positiva
A questo punto l'unico valore di cui abbiamo bisogno è b che possiamo ottenere dalla relazione
Pertanto il numero complesso espresso in forma algebrica è
Volendo possiamo semplificare i radicali doppi, così da semplificare ulteriormente l'espressione
Metodo alternativo
Osserviamo che poiché conosciamo sia il modulo che l'argomento, possiamo utilizzare la forma trigonometrica del numero complesso
Abbiamo già visto che
pertanto
Poiché il seno è una funzione periodica di periodo
allora
Per lo stesso motivo
conseguentemente
Moltiplichiamo così da ottenere
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