Domanda su serie numeriche e confronto asintotico

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Ho la serie \sum_{n=1}^{\infty}\left(\left \left n\; sin \left (\frac{1}{n} \right )\right )^{n^{3}}

so che quando l'argomento del seno va a 0, il seno si comporta come il suo argomento (per il confronto asintotico).

Ora mi chiedo, perchè dunque, tale serie all'infinito non si comporta come \sum_{n=1}^{\infty}1^{n^{3}} ? Sto tralasciando qualche condizione per l'applicazione del confronto asintotico?

Domanda di Neumann

 
Soluzioni

  • Ciao Neumann, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Penso comunque che sia un problema di forma indeterminata 1^infinito, però vorrei capire quando posso sostituire all'interno di una espressione del genere un termine che si comporta come quello sostituito, ottenendo un risultato decente!

    Risposta di Neumann

  • Qui il confronto asintotico va effettuato non con i limiti notevoli, che ti portano a tralasciare l'ordine di infinitesimo successivo al primo, ma con Taylor. Infatti 1^{n^3} genera una forma indeterminata all'infinito di cui non è possibile, a priori, stabilire il comportamento.

    Prova a sostituire lo sviluppo del seno:

    \sin{\left(\frac{1}{n}\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{6n^3}+0\left(\frac{1}{n^3}\right)

    Troverai che il termine generale della serie, all'infinito, è asintoticamente equivalente a

    e^{-n}

    e quindi abbiamo a che fare con una serie convergente.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Aspetta, potremmo per cortesia vedere i passaggi, che non sono abituato ad utilizzare lo sviluppo in serie di Taylor per studiare la convergenza di una serie.

    Risposta di Neumann

  • Si tratta semplicemente di sviluppare in serie di Taylor

    \sin{\left(x\right)}

    Sostituire nello sviluppo

    x=\frac{1}{t}

    Limitarsi ai punti della successione

    \frac{1}{t}=\frac{1}{n}

    e poi sostituire lo sviluppo arrestato in questo caso al secondo ordine pari pari nell'espressione del termine generale. Quando ragioni per equivalenze asintotiche in una serie, ragioni sul termine generale, che è una successione. Non ci sono altri passaggi da portare a termine...

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Ottimo, grazie ancora!

    Risposta di Neumann
 
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