Domanda su serie numeriche e confronto asintotico

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Ho la serie Σ_(n = 1)^(∞)(n ; sin ((1)/(n) ))^(n^(3))

so che quando l'argomento del seno va a 0, il seno si comporta come il suo argomento (per il confronto asintotico).

Ora mi chiedo, perchè dunque, tale serie all'infinito non si comporta come Σ_(n = 1)^(∞)1^(n^(3)) ? Sto tralasciando qualche condizione per l'applicazione del confronto asintotico?

Domanda di Neumann

 
Soluzioni

  • Ciao Neumann, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Penso comunque che sia un problema di forma indeterminata 1^infinito, però vorrei capire quando posso sostituire all'interno di una espressione del genere un termine che si comporta come quello sostituito, ottenendo un risultato decente!

    Risposta di Neumann

  • Qui il confronto asintotico va effettuato non con i limiti notevoli, che ti portano a tralasciare l'ordine di infinitesimo successivo al primo, ma con Taylor. Infatti 1^(n^3) genera una forma indeterminata all'infinito di cui non è possibile, a priori, stabilire il comportamento.

    Prova a sostituire lo sviluppo del seno:

    sin(((1)/(n))) = (1)/(n)-(1)/(6n^3)+0((1)/(n^3))

    Troverai che il termine generale della serie, all'infinito, è asintoticamente equivalente a

    e^(-n)

    e quindi abbiamo a che fare con una serie convergente.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Aspetta, potremmo per cortesia vedere i passaggi, che non sono abituato ad utilizzare lo sviluppo in serie di Taylor per studiare la convergenza di una serie.

    Risposta di Neumann

  • Si tratta semplicemente di sviluppare in serie di Taylor

    sin(x)

    Sostituire nello sviluppo

    x = (1)/(t)

    Limitarsi ai punti della successione

    (1)/(t) = (1)/(n)

    e poi sostituire lo sviluppo arrestato in questo caso al secondo ordine pari pari nell'espressione del termine generale. Quando ragioni per equivalenze asintotiche in una serie, ragioni sul termine generale, che è una successione. Non ci sono altri passaggi da portare a termine...

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Ottimo, grazie ancora!

    Risposta di Neumann
 
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