Domanda su serie numeriche e confronto asintotico
Ho la serie 
so che quando l'argomento del seno va a 0, il seno si comporta come il suo argomento (per il confronto asintotico).
Ora mi chiedo, perchè dunque, tale serie all'infinito non si comporta come 
? Sto tralasciando qualche condizione per l'applicazione del confronto asintotico?
Ciao Neumann, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
Penso comunque che sia un problema di forma indeterminata 1^infinito, però vorrei capire quando posso sostituire all'interno di una espressione del genere un termine che si comporta come quello sostituito, ottenendo un risultato decente!
Risposta di Neumann
Qui il confronto asintotico va effettuato non con i limiti notevoli, che ti portano a tralasciare l'ordine di infinitesimo successivo al primo, ma con Taylor. Infatti 
genera una forma indeterminata all'infinito di cui non è possibile, a priori, stabilire il comportamento.
Prova a sostituire lo sviluppo del seno:
Troverai che il termine generale della serie, all'infinito, è asintoticamente equivalente a
e quindi abbiamo a che fare con una serie convergente.
Namasté!
Risposta di Omega
Aspetta, potremmo per cortesia vedere i passaggi, che non sono abituato ad utilizzare lo sviluppo in serie di Taylor per studiare la convergenza di una serie.
Risposta di Neumann
Si tratta semplicemente di sviluppare in serie di Taylor
Sostituire nello sviluppo
Limitarsi ai punti della successione
e poi sostituire lo sviluppo arrestato in questo caso al secondo ordine pari pari nell'espressione del termine generale. Quando ragioni per equivalenze asintotiche in una serie, ragioni sul termine generale, che è una successione. Non ci sono altri passaggi da portare a termine...
Namasté!
Risposta di Omega
Ottimo, grazie ancora!
Risposta di Neumann