Soluzioni
  • Ciao Hyperion, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Partiamo dalla matrice associata all'applicazione lineare:

    A=\left[\begin{matrix}3&-2\\ 2&-1\end{matrix}\right]

    Per definizione, \lambda è un autovalore della matrice A se è uno zero del polinomio caratteristico

    P_A(\lambda)=det(\lambda I-A)

    quindi gli autovalori di A si determinano risolvendo (nel nostro caso in \mathbb{R})

    P_A(\lambda)=det(\lambda I-A)=0

    Se \lambda è un autovalore di A, gli autovettori associati ad esso cono definiti come i vettori v tali che

    (\lambda I-A)v=0

    cioè sono gli elementi del nucleo dell'applicazione (\lambda I-A). Va da sé che il sistema lineare 

    (\lambda I-A)v=0

    ammette sempre come soluzione il vettore nullo, e il teorema di Cramer garantisce che un sistema lineare con matrice quadrata ammette una e una sola soluzione se e solo se il determinante della matrice è diverso da zero. Per negazione, abbiamo l'equivalenza tra l'esistenza di almeno una soluzione NON banale del sistema lineare

    (\lambda I-A)v=0

    e la condizione di determinante nullo

    det(\lambda I-A)=0

    cioè il fatto che \lambda annulli il polinomio caratteristico della matrice.

    Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie mille per la risposta lampo che mi hai dato, adesso ho capito Laughing

    Risposta di Hyperion
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