Soluzioni
  • Per stabilire la posizione reciproca delle rette

    \\ r:\ (x,y,z)=t(1,0,-1) \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ s:\ \begin{cases}2x+y+z=0 \\ 2x+y+2z=0\end{cases}

    conviene prima di tutto individuare le loro direzioni, con cui saremo già in grado di affermare se le rette sono parallele o no.

    A partire dalle equazioni parametriche della retta r è  davvero molto semplice individuare un vettore che ne descriva la direzione (vettore direttore): basta, infatti, prendere il vettore che moltiplica t.

    \mathbf{v}_r=(1,0,-1)

    Partendo dalle equazioni cartesiane della retta s, esibire un suo vettore direttore richiede qualche passaggio in più. Prima di tutto definiamo i vettori dei coefficienti direttori dei due piani che si intersecano in s

    \\ \pi_1: \ 2x+y+z=0\\ \\ \pi_2: \ 2x+y+2z=0

    che sono rispettivamente 

    \\ \mathbf{n}_{\pi_1}=(2,1,1)\\ \\ \mathbf{n}_{\pi_2}=(2,1,2)

    Il prodotto vettoriale tra \mathbf{n}_{\pi_1},\mathbf{n}_{\pi_2} fornisce un vettore parallelo a s e, in quanto tale, può essere eletto a suo vettore direttore

    \mathbf{v}_{s}=\mathbf{n}_{\pi_1}\times\mathbf{n}_{\pi_2}=\mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 2&1&1\\ 2&1&2\end{pmatrix}=

    Calcoliamo il determinante sviluppandolo lungo la prima riga con la regola di Laplace

    \\ =\mathbf{i}\,\mbox{det}\begin{pmatrix}1&1\\ 1&2\end{pmatrix}-\mathbf{j}\,\mbox{det}\begin{pmatrix}2&1\\2&2\end{pmatrix}+\mathbf{k}\,\mbox{det}\begin{pmatrix}2&1\\ 2&1\end{pmatrix}= \\ \\ =[2-1]\mathbf{i}-[4-2]\mathbf{j}+[2-2]\mathbf{k}=\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}

    Possiamo affermare che \mathbf{v}_{s}=(1,-2,0).

    Noti i vettori direttori delle due rette, possiamo facilmente stabilire se r,s sono parallele o meno usando la cosiddetta condizione di parallelismo:

    due rette sono parallele se e solo se hanno la medesima direzione, o scritto in termini vettoriali, se e solo se sono proporzionali i loro vettori direttori.

    \mathbf{v}_{s} è proporzionale a \mathbf{v}_{r} se e solo se esiste un numero reale non nullo tale che:

    \mathbf{v}_{s}=\lambda\mathbf{v}_{r}

    relazione questa che si traduce nell'equazione vettoriale nell'incognita \lambda

    (1,-2,0)=\lambda(1,0,-1) \ \ \ \to \ \ \ (1,-2,0)=(\lambda,0,-\lambda)

    Uguagliando le componenti, ricaviamo il sistema impossibile

    \begin{cases}\lambda=1\\ 0=-2\\ -\lambda=0\end{cases}

    di conseguenza \mathbf{v}_{s} non è parallelo a \mathbf{v}_{r} per cui le due rette non possono essere parallele.

    Rimane da controllare se sono rette incidenti oppure rette sghembe. Ricordando che due rette sono incidenti se e solo se hanno un punto in comune, consideriamo il sistema formato dalle equazioni di r e s

    \begin{cases}x=t\\ y=0\\ z=-t\\ 2x+y+z=0\\ 2x+y+2z=0\end{cases}

    Se esiste t\in\mathbb{R} che soddisfa lo soddisfa, le rette sono incidenti, non lo sono in caso contrario.

    Sostituiamo le espressioni x=t,\, y=0, \, z=-t nelle relazioni

    2x+y+z=0 \ \ \ , \ \ \ 2x+y+2z=0

    cosicché il sistema diventi

    \begin{cases}x=t\\ y=0\\ z=-t\\ 2t+0-t=0\\ 2t+0+2(-t)=0\end{cases}\ \ \to \ \ \begin{cases}x=t\\ y=0\\ z=-t\\ t=0\\ 0=0\end{cases}

    Scopriamo quindi che il sistema è soddisfatto per t=0, di conseguenza le rette sono incidenti! Il punto di intersezione P si ricava sostituendo t=0 nelle relazioni

    \\ x=t \ \ \ \to \ \ \ x=0\\ \\ z=-t \ \ \ \to \ \ \ z=0

    pertanto P(x,y,z)=(0,0,0), ossia r,s si intersecano nell'origine del sistema di riferimento cartesiano. Proprio perché sono incidenti, le rette non possono essere sghembe.

    Risposta di Ifrit
 
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