Soluzioni
  • Qui cerco di darti una panoramica generale: per tutti i dettagli, i commenti e le spiegazioni del caso ti rimando alla lettura della lezione sull'uniforme continuità.

    Ragioniamo nel caso di una funzione reale di variabile reale f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.

    Sappiamo che f è continua in un punto x_0 del suo dominio se:

    \\ f\mbox{ continua in }x_0\mbox{ se }\\ \\ \forall\varepsilon>0\ \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0\mbox{ tale che se }|x-x_0|<\delta\\ \\ \mbox{ risulta che }|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon

    Nel contempo diciamo che una funzione è continua su un intervallo I se è continua in ogni punto dell'intervallo

    \\ f\mbox{ continua su }I\mbox{ se } \forall x\in I\mbox{ si ha che }\\ \\ \forall\varepsilon>0\ \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0\mbox{ tale che se }|y-x|<\delta\\ \\ \mbox{ risulta che }|f(y)-f(x)|< \varepsilon

    Ora prendiamo la nozione di uniforme continuità: f è uniformemente continua su un intervallo I\subseteq Dom(f) del suo dominio se

    \\ f\mbox{ uniformemente continua su }I\mbox{ se }\\ \\ \forall\varepsilon>0\ \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0\mbox{ tale che }\forall x,y\in I\mbox{ per cui }|x_1-x_2|\leq \delta\\ \\ \mbox{ risulta che }|f(y)-f(x)|\leq \varepsilon

    Nota che l'uniforme continuità:

    - è riferita ad un intervallo, e non ad un punto;

    - è una condizione molto più restrittiva della semplice continuità, perché consiste nel fatto che la funzione presenti un controllo tra la variazione di ascisse e la corrispondente variazione di ordinate che non dipende da un punto e che vale su tutto l'intervallo.

    Nota infatti che nella definizione di uniforme continuità i valori di controllo ordinate-ascisse \varepsilon,\delta vanno bene per tutti i punti dell'intervallo ;)

    Ciò detto, ti suggerisco di approfondire leggendo la lezione del precedente link. Lì troverai tutto quello che ti serve. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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