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  • Il sottospazio generato dai vettori

    \\ \mathbf{v}_1=(1,1,1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(2,2,2,2,2) \\ \\ \mathbf{v}_3=(0,1,-2,3,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_4=(1,2,-1,4,2)

    è

    W=\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4).

    Per definizione di sottospazio generato, l'insieme formato dai quattro vettori è un sistema di generatori di W, dunque per calcolarne una base è sufficiente estrarre un insieme massimale di vettori indipendenti da \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\}.

    Come imposto dalla traccia, usiamo il metodo degli scarti successivi.

    Consideriamo il primo vettore:

    \mathbf{v}_1=(1,1,1,1,1)

    Poiché è diverso dal vettore nullo lo teniamo, e prendiamo in esame in secondo:

    \mathbf{v}_2=(2,2,2,2,2)

    Osserviamo che \mathbf{v}_2=2\mathbf{v}_1, dunque \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 sono linearmente dipendenti; di conseguenza scartiamo \mathbf{v}_2 e consideriamo il terzo vettore del sistema di generatori:

    \mathbf{v}_3=(0,1,-2,3,1)

    Il rango della matrice che ha come righe le componenti dei vettori \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_3 è uguale a 2

    \mbox{rk}\begin{pmatrix}\mathbf{v}_1 \\ \mathbf{v}_3\end{pmatrix} = \mbox{rk}\begin{pmatrix}1&1&1&1&1 \\ 0&1&-2&3&1\end{pmatrix}

    infatti la sottomatrice di ordine 2 che si ottiene eliminando le ultime tre colonne ha determinante diverso da zero.

    Ciò permette di asserire che \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_3 sono indipendenti, dunque \mathbf{v}_3 va tenuto.

    Consideriamo, infine, il quarto vettore:

    \mathbf{v}_4=(1,2,-1,4,2)

    che teniamo solo se \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\} è indipendente.

    Senza fare alcun conto, è immediato osservare che

    \mathbf{v}_4=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_3

    per cui l'insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\} è dipendente, cosicché anche \mathbf{v}_4 deve essere scartato.

    Una base di W è formata dai vettori che, di volta in volta, sono stati accettati, pertanto

    \mathcal{B}_{W}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3\} = \{(1,1,1,1,1), \ (0,1,-2,3,1)\}

    È tutto!

    Risposta di Galois
 
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