Base di un sottospazio in R^5 generato da 4 vettori

Question

Ho appena concluso lo studio teorico dei metodi sull'estrazione di una base da un sistema di generatori, ma non mi è affatto chiaro come si applica quello degli scarti successivi. Vi propongo un esercizio e spero che, leggendone lo svolgimento, possa capire come si usa. Siano v_1, v_2, v_3, v_4 ∈ R^5 i seguenti vettori ; v_1 = (1,1,1,1,1) ; v_2 = (2,2,2,2,2) ; v_3 = (0,1,-2,3,1) ; v_4 = (1,2,-1,4,2) Calcolare una base del sottospazio W da essi generato usando il metodo degli scarti successivi.

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

Il sottospazio generato dai vettori ; v_1 = (1,1,1,1,1) ; v_2 = (2,2,2,2,2) ; v_3 = (0,1,-2,3,1) ; v_4 = (1,2,-1,4,2) è W = Span(v_1, v_2, v_3, v_4). Per definizione di sottospazio generato, l'insieme formato dai quattro vettori è un sistema di generatori di W, dunque per calcolarne una base è sufficiente estrarre un insieme massimale di vettori indipendenti da v_1, v_2, v_3, v_4. Come imposto dalla traccia, usiamo il metodo degli scarti successivi. Consideriamo il primo vettore: v_1 = (1,1,1,1,1) Poiché è diverso dal vettore nullo lo teniamo, e prendiamo in esame in secondo: v_2 = (2,2,2,2,2) Osserviamo che v_2 = 2v_1, dunque v_1 e v_2 sono linearmente dipendenti; di conseguenza scartiamo v_2 e consideriamo il terzo vettore del sistema di generatori: v_3 = (0,1,-2,3,1) Il rango della matrice che ha come righe le componenti dei vettori v_1 e v_3 è uguale a 2 rk[v_1 ; v_3] = rk[1 1 1 1 1 ; 0 1 -2 3 1] infatti la sottomatrice di ordine 2 che si ottiene eliminando le ultime tre colonne ha determinante diverso da zero. Ciò permette di asserire che v_1 e v_3 sono indipendenti, dunque v_3 va tenuto. Consideriamo, infine, il quarto vettore: v_4 = (1,2,-1,4,2) che teniamo solo se v_1, v_3, v_4 è indipendente. Senza fare alcun conto, è immediato osservare che v_4 = v_1+v_3 per cui l'insieme v_1, v_3, v_4 è dipendente, cosicché anche v_4 deve essere scartato. Una base di W è formata dai vettori che, di volta in volta, sono stati accettati, pertanto mathcalB_(W) = v_1, v_3 = (1,1,1,1,1), (0,1,-2,3,1) È tutto!