Soluzioni
  • Prima di cominciare ti consiglio di tenere a portata di mano le formule dell'ellisse. Il nostro obiettivo è calcolare a e b così da determinare in modo univoco l'equazione dell'ellisse.

    Il testo dell'esercizio fornisce le coordinate dei fuochi dell'ellisse.

    F_{1,2}\left(0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

    Dunque sappiamo che essi appartengono all'asse y e la semidistanza focale c è:

    c=3\frac{\sqrt{2}}{2}.

    Facciamo intervenire ora la formula fondamentale per l'ellisse che mette in relazione il quadrato della semidistanza focale con la differenza dei quadrati di a e b.

    b^2-a^2= c^2\iff b^2-a^2= \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2

    Eseguiamo i calcoli così da ottenere:

    b^2-a^2=\frac{9\cdot 2}{4}= \frac{9}{2}.

    La seconda informazione che il testo ci fornisce è che la retta di equazione y=x+\frac{3}{2}\sqrt{6} è tangente l'ellisse. Nel caso volessi approfondire leggi la lezione sulla posizione reciproca tra retta e ellisse.

    Mettiamo a sistema l'equazione dell'ellisse e quella della retta:

    \begin{cases}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=x+\frac{3}{2}\sqrt{6}\end{cases}

    L'equazione risolvente è:

    \frac{x^2}{a^2}+ \frac{(x+\frac{3}{2}\sqrt{6})^2}{b^2}=1

    Eseguendo i calcoli arriveremo a

    2(a^2+b^2)x^2+ 6\sqrt{6}a^2 x-a^2 (2b^2-27)=0

    Affinché l'ellisse sia tangente alla circonferenza dobbiamo imporre quella che prende il nome di condinzione di tangenza: il discriminante della equazione risolvente deve essere zero!

    \Delta=(6\sqrt{6})^2-4\cdot 2 (a^2+b^2)(-a^2 (2b^2-27))=0

    con un po' di pazienza e moldi calcoli:

    \Delta=0\iff 8a^2 b^2 (2a^2+2b^2-27)=0

    A questo punto per la legge di annullamento del prodotto, quest'ultimo è zero se almeno uno dei fattori è zero, pertanto

    a=0 soluzione non accettabile perché altrimenti perderebbe di senso l'equazione dell'ellisse

    b=0 come prima, non è accettabile.

    2a^2+2b^2-27=0 questa è la seconda condizione per determinare univocamente l'equazione dell'ellisse.

    Mettiamo a sistema:

    \begin{cases}b^2-a^2= \frac{9}{2}\\ 2a^2+2b^2-27=0\end{cases}

    Dalla prima relazione segue che:

    b^2= \frac{9}{2}+a^2

    Sostituendo nella seconda equazione:

    2a^2+2\left(\frac{9}{2}+a^2\right)-27=0

    Da cui:

    a^2=\frac{9}{2}

    e dunque

    b^2= \frac{9}{2}+\frac{9}{2}= 9

    L'equazione dell'ellisse è:

    \frac{x^2}{\frac{9}{2}}+\frac{y^2}{9}=1

    Occupiamoci della seconda parte del problema: andiamo alla ricerca dei vertici di un rettangolo che ha perimetro 12. Sia A il vertice del rettangolo che vive nel primo quadrante, esso avrà coordinate:

    A\left(x, \sqrt{9-2x^2}\right)

    L'ascissa di questo punto rappresenta la semibase del rettangolo, metre l'ordinata la semialtezza. Il perimetro del rettangolo è dato dalla relazione:

    P=4x+4\sqrt{9-2x^2}

    e poiché deve essere uguale a 12, otteniamo l'equazione irrazionale:

    4(x+\sqrt{9-2x^2})=12\implies x+\sqrt{9-2x^2}=3\implies \sqrt{9-2x^2}=3-x

    Essa è equivalente al sistema:

    \begin{cases}9-2x^2\ge 0\\9-2x^2=(3-x)^2\end{cases}

    che ha per soluzioni x=0\vee x=2

    La prima soluzione non è accettabile perché il rettangolo è degenere, x=2 invece va bene. 

    Il vertice A è quindi:

    A(2, \sqrt{9-8})=(2,1)

    Gli altri vertici si ottengono per simmetria e sono:

    B(2, -1)\quad C(-2,-1)\quad D(-2,1).

    Di conseguenza la base del rettangolo vale:

    BC=|x_B-x_C|=4\,\,cm

    mentre l'altezza

    AB=|x_{A}-x_{B}|=2\,\,cm

    L'area è:

    A=AB\cdot BC=2\times 4=8\,\,cm^2

    Finito!

    Risposta di Ifrit
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