Soluzioni
  • È noto che un'ellisse di equazione

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

    ha i fuochi nei punti

    \left(0, \pm 3\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

    ed è tangente alla retta

    y=x+\frac{3}{2}\sqrt{6}

    Dobbiamo inscrivere nell'ellisse un rettangolo di perimetro 12 e calcolarne l'area.

    La prima cosa da fare è calcolare i valori dei parametri a,b così da determinare in modo univoco l'equazione dell'ellisse.

    Dalle coordinate dei fuochi dell'ellisse

    F_{1,2}\left(0, \pm 3\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

    deduciamo che essi appartengono all'asse y e possiamo anche calcolare la semidistanza focale c, data da

    c=3\frac{\sqrt{2}}{2}

    Facciamo intervenire ora la formula fondamentale per l'ellisse, che mette in relazione il quadrato della semidistanza focale con la differenza dei quadrati di a e di b

    b^2-a^2= c^2\iff b^2-a^2= \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2

    Eseguiamo i calcoli e otteniamo

    b^2-a^2=\frac{9\cdot 2}{4}= \frac{9}{2}

    La seconda informazione che il testo ci fornisce è che la retta di equazione

    y=x+\frac{3}{2}\sqrt{6}

    è tangente l'ellisse.

    Mettiamo a sistema l'equazione dell'ellisse e quella della retta:

    \begin{cases}\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\\ \\ y=x+\dfrac{3}{2}\sqrt{6}\end{cases}

    L'equazione risolvente è:

    \frac{x^2}{a^2}+ \frac{\left(x+\dfrac{3}{2}\sqrt{6}\right)^2}{b^2}=1

    Svolgiamo i calcoli e ordiniamo secondo le potenze decrescenti di x

    2(a^2+b^2)x^2+ 6\sqrt{6}a^2 x-a^2 (2b^2-27)=0

    Dallo studio delle posizioni reciproche tra retta e ellisse sappiamo che l'ellisse è tangente alla retta se e solo se il discriminante della equazione risolvente è pari a zero.

    Con molta pazienza calcoliamo il Delta associato all'equazione risolvente

    \\ \Delta=(6\sqrt{6})^2-4\cdot 2 (a^2+b^2)(-a^2 (2b^2-27))= \\ \\ = 8a^2 b^2 (2a^2+2b^2-27)

    e imponiamo che sia nullo

    \Delta=0 \ \to \ 8a^2 b^2 (2a^2+2b^2-27)=0

    Per la legge di annullamento del prodotto, quest'ultimo è zero se almeno uno dei fattori è zero, pertanto otteniamo le condizioni:

    a=0 → soluzione non accettabile perché altrimenti perderebbe di senso l'equazione dell'ellisse;

    b=0 → come prima, non è accettabile;

    2a^2+2b^2-27=0 → questa è la seconda condizione per determinare univocamente l'equazione dell'ellisse.

    Mettiamo a sistema questa condizione con quella trovata in precedenza

    \begin{cases}b^2-a^2= \dfrac{9}{2}\\ \\ 2a^2+2b^2-27=0\end{cases}

    Ricaviamo b^2 dalla prima equazione

    \begin{cases}b^2= \dfrac{9}{2}+a^2 \\ \\ 2a^2+2b^2-27=0\end{cases}

    e sostituiamo nella seconda

    \begin{cases}b^2= \dfrac{9}{2}+a^2 \\ \\ 2a^2+2\left(\dfrac{9}{2}+a^2\right)-27=0\end{cases}

    Troviamo a^2 dalla seconda equazione

    \begin{cases}b^2= \dfrac{9}{2}+a^2 \\ \\ a^2=\dfrac{9}{2}\end{cases}

    e sostituiamo nella prima

    \begin{cases}b^2= \dfrac{9}{2}+a^2=\dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{2}= 9 \\ \\ a^2=\dfrac{9}{2}\end{cases}

    L'equazione dell'ellisse è:

    \frac{x^2}{\dfrac{9}{2}}+\frac{y^2}{9}=1

    Occupiamoci della seconda parte del problema: andiamo alla ricerca dei vertici di un rettangolo che ha perimetro 12. Sia A il vertice del rettangolo che vive nel primo quadrante. Esso avrà coordinate:

    A\left(x, \sqrt{9-2x^2}\right)

    L'ascissa di questo punto rappresenta la semibase del rettangolo, mentre l'ordinata la semialtezza. Il perimetro del rettangolo è dato dalla relazione:

    P=4x+4\sqrt{9-2x^2}

    e poiché deve essere uguale a 12, otteniamo l'equazione irrazionale

    4(x+\sqrt{9-2x^2})=12

    Scriviamola in forma normale

    \sqrt{9-2x^2}=3-x

    e risolviamola. Essa equivale al sistema

    \begin{cases}9-2x^2\ge 0\\9-2x^2=(3-x)^2\end{cases}

    e le sue soluzioni sono

    x=0 \ \ ; \ \ x=2

    La prima soluzione non è accettabile perché il rettangolo sarebbe degenere, mentre x=2 va bene.

    Il vertice A è quindi:

    A(2, \sqrt{9-8})=(2,1)

    Gli altri vertici si ottengono per simmetria e sono:

    B(2, -1) \ \ ; \ \ C(-2,-1) \ \ ; \ \ D(-2,1)

    Di conseguenza la base del rettangolo vale:

    BC=|x_B-x_C|=4

    mentre l'altezza è

    AB=|x_{A}-x_{B}|=2

    Infine l'area del rettangolo è:

    A=AB\cdot BC=2 \cdot 4=8

    Finito!

    Risposta di Galois
 
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