Capire dove una funzione è infinita o infinitesima

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Ciao ho una funzione e devo capire in quali punti essa è infinita o infinitesima:

 

y = log(((e^(2x)-1)/(x)))

 

Tale funzione è infinitesima per x tendente a (cosa?)e infinita per x tendente a (cosa?)

Domanda di Arash

 
Soluzioni

  • Ciao Arash, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Consideriamo la funzione 

    y = log(((e^(2x)-1)/(x)))

    e controlliamo i limiti:

    lim_(x → +∞)f(x) = +∞

    basta effettuare un confronto tra infiniti nell'argomento del logaritmo, e osservare che l'esponenziale è un infinito di ordine superiore alla x.

    lim_(x → -∞)f(x) = -∞

    Per vederlo, basta applicare le regole dell'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

    Infine, consideriamo l'equazione

    log(((e^(2x)-1)/(x))) = 0

    che possiamo riscrivere come

    (e^(2x)-1)/(x) = 1

    ossia

    e^(2x)-1 = x

    ossia

    e^(2x) = x+1

    questa è un'equazione che non può essere risolta analiticamente, ma solamente confrontando i grafici delle due funzioni y = e^(2x) e y = x+1. L'unica soluzione dell'equazione è un valore x_0 compreso tra -1 e 0, nell'intorno del quale la funzione è infinitesima.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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