Soluzioni
  • Innanzitutto l'esercizio ci chiede di individuare una progressione geometrica, per cui il rapporto tra due termini consecutivi deve essere costante

    \{a_n\}_n\ \to\ \frac{a_n}{a_{n+1}}=k\in\mathbb{R}\ \forall n

    Direi che la rappresentazione cercata, che va cercata in riferimento alla funzione esponenziale

    y=2^x

    ristretta ai numeri naturali, è data da 2^n.

    Ovviamente la condizione relativa al rapporto è soddisfatta, infatti

    \frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{2^n}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}

    Noi però vogliamo che risulti a_2=1,\ a_4=\frac{1}{4}, per cui con un filo di ragionamento scopriamo che deve essere

    \left\{2^{2-n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

    infatti

    a_2=2^{2-2}=2^{0}=1,\ \ \ \ \ a_4=2^{2-4}=2^{-2}=\frac{1}{4}

    e ovviamente il rapporto è costante

    \frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{2^{2-n}}{2^{2-(n+1)}}=

    Usando le proprietà delle potenze

    =2^{2-n-[2-(n+1)]}=2^{2-n-2+n+1}=2

    che è costante.

    PS: ricorda che dire "progressione ristretta ai numeri naturali" significa che l'indice n deve appartenere all'insieme dei numeri naturali; gli elementi della progressione possono essere tranquillamente numeri reali.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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