Soluzioni
  • Ciao Piis, non c'è problema, adesso risolvo il primo integrale qui, per l'altro apri una discussione nel forum, discuteremo con te anche lì e risolveremo i tuoi esercizi, senza contare che la nostra utenza è molto partecipe, qundi probabilmente riuscirai ad ottenere diversi svolgimenti!

    Alpha

     

    Risposta di Alpha
  • Calcoliamo il primo integrale, che è improprio e per risolverlo calcoliamo prima

    int (-M,-4) [(4-x)/((x+3)(4x^2-1)^2)]

    per poi calcolarne il limite per M tendente a + infinito.

    Osserviamo che possiamo riscrivere il denominatore come

    ((x+3)(4x^2-1)^2=(x+3)(2x-1)^2(2x+1)^2

    Ora dobbiamo applicare il metodo di risoluzione degli integrali di funzioni razionali.

    Poniamo

    (4-x)/((x+3)(2x-1)^2(2x+1)^2) = A/(x+3)  +(Bx+C)/(2x-1)^2 + (Dx+E)/(2x+1)^2

    = A(4x^2-1) + (Bx+C)(x+3)(2x^2+1) + (DX+E)(2x^2-1)(x+3)  /  ((x+3)(2x-1)^2(2x+1)^2)

    dopo un po' di calcoli, trovi

    (2B+2D)x^4   + (2C+6B+2E+6D)x^3 + (4A+6C+B+6E-D)x^2 + (C+3B-E-3D)x + (-A+3C-3E)

    e deve coincidere con

    (4-x)

    ora eguagli i termini che hanno lo stesso grado di x e risolvi il sistema corrispondente. I termini che non compaiono in (4-x), cioè che hanno grado superiore a uno, devi porli uguali a zero.

    Fatto questo, devi semplicemente riscrivere l'integrale con integranda la funzione

    A/(x+3)  +(Bx+C)/(2x-1)^2 + (Dx+E)/(2x+1)^2

    con A,B,C,D,E i valori che hai trovato. Questa infatti coincide con  la funzione integranda iniziale! Ora l'integrale è più semplice perchè puoi spezzarlo nella somma dei singoli integrali.

    Fatto ciò, calcoli il limite per M tendente a più infinito del risultato, e ci sei.

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
 
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