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Ciao Piis, non c'è problema, adesso risolvo il primo integrale qui, per l'altro apri una discussione nel forum, discuteremo con te anche lì e risolveremo i tuoi esercizi, senza contare che la nostra utenza è molto partecipe, qundi probabilmente riuscirai ad ottenere diversi svolgimenti!
Alpha
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Calcoliamo il primo integrale, che è improprio e per risolverlo calcoliamo prima
int (-M,-4) [(4-x)/((x+3)(4x^2-1)^2)]
per poi calcolarne il limite per M tendente a + infinito.
Osserviamo che possiamo riscrivere il denominatore come
((x+3)(4x^2-1)^2=(x+3)(2x-1)^2(2x+1)^2
Ora dobbiamo applicare il metodo di risoluzione degli integrali di funzioni razionali.
Poniamo
(4-x)/((x+3)(2x-1)^2(2x+1)^2) = A/(x+3) +(Bx+C)/(2x-1)^2 + (Dx+E)/(2x+1)^2
= A(4x^2-1) + (Bx+C)(x+3)(2x^2+1) + (DX+E)(2x^2-1)(x+3) / ((x+3)(2x-1)^2(2x+1)^2)
dopo un po' di calcoli, trovi
(2B+2D)x^4 + (2C+6B+2E+6D)x^3 + (4A+6C+B+6E-D)x^2 + (C+3B-E-3D)x + (-A+3C-3E)
e deve coincidere con
(4-x)
ora eguagli i termini che hanno lo stesso grado di x e risolvi il sistema corrispondente. I termini che non compaiono in (4-x), cioè che hanno grado superiore a uno, devi porli uguali a zero.
Fatto questo, devi semplicemente riscrivere l'integrale con integranda la funzione
A/(x+3) +(Bx+C)/(2x-1)^2 + (Dx+E)/(2x+1)^2
con A,B,C,D,E i valori che hai trovato. Questa infatti coincide con la funzione integranda iniziale! Ora l'integrale è più semplice perchè puoi spezzarlo nella somma dei singoli integrali.
Fatto ciò, calcoli il limite per M tendente a più infinito del risultato, e ci sei.
Namasté - Agente Ω
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